Zadanie 1 · 2 pkt · otwarte

Wzrost liczebności populacji bakterii w ciągu godziny

W warunkach laboratoryjnych obserwowano dynamikę wzrostu liczebności populacji pewnego gatunku bakterii. Liczebność NN populacji bakterii zmienia się w czasie zgodnie z zależnością wykładniczą

N(t)=N0⋅ktN(t) = N_0 \cdot k^t dla t≥0t \ge 0

gdzie:

N0N_0 – liczebność populacji w chwili t=0t = 0 rozpoczęcia obserwacji,

kk – stała dodatnia, charakterystyczna dla danego gatunku bakterii i dla warunków przeprowadzenia obserwacji,

tt – czas wyrażony w godzinach, liczony od chwili t=0t = 0 rozpoczęcia obserwacji.

W chwili rozpoczęcia obserwacji liczebność populacji była równa 10 00010\,000⁠, a po dwóch godzinach była równa 15 62515\,625⁠.

Oblicz, o ile procent wzrastała liczebność populacji tej bakterii w ciągu każdej godziny. Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź i rozwiązanieSpróbuj najpierw sam(a), potem sprawdź.

Rozwiązanie krok po kroku

  1. Dla t=0t = 0 mamy k0=1k^0 = 1⁠, więc N0N_0 to liczebność populacji w chwili rozpoczęcia obserwacji.

    N(0)=N0⋅k0=N0=10 000N(0) = N_0 \cdot k^0 = N_0 = 10\,000

  2. Po dwóch godzinach liczebność jest równa 15 62515\,625⁠, co daje równanie z jedną niewiadomą kk⁠.

    15 625=10 000⋅k215\,625 = 10\,000 \cdot k^2

    Do tego miejsca: 1 pkt

  3. Rozwiązujemy równanie, pamiętając, że kk jest stałą dodatnią.

    k2=15 62510 000=2516,k=54=1,25k^2 = \dfrac{15\,625}{10\,000} = \dfrac{25}{16}, \qquad k = \dfrac{5}{4} = 1{,}25

  4. Iloraz liczebności po kolejnych godzinach jest stały i równy k=1,25k = 1{,}25⁠, więc w ciągu każdej godziny liczebność rośnie o 25%25\%⁠.

    N(t+1)N(t)=N0⋅kt+1N0⋅kt=k=1,25\dfrac{N(t + 1)}{N(t)} = \dfrac{N_0 \cdot k^{t + 1}}{N_0 \cdot k^t} = k = 1{,}25

    Do tego miejsca: 2 pkt

Odpowiedź

Liczebność populacji wzrastała o 25%25\% w ciągu każdej godziny.

Jak to jest punktowane

Za rozwiązanie jest jeden poziom — najwyższy, który spełnia.

  • 2 pktzastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 25%25\%⁠.
  • 1 pktzapisanie równania z jedną niewiadomą kk⁠, np. 15 625=10 000⋅k215\,625 = 10\,000 \cdot k^2⁠.

Uwagi z zasad oceniania CKE

  • Jeżeli zdający odgadnie wynik i sprawdzi, że wartość 25%25\% spełnia warunki zadania oraz uzasadni, że jest to jedyne rozwiązanie (np. powołując się na to, że funkcja wykładnicza jest rosnąca), to otrzymuje 2 punkty; natomiast jeżeli takiego uzasadnienia nie przedstawi, to otrzymuje 1 punkt.

Chcesz rozwiązywać to zadanie z podpowiedziami? Zapisz się na listę oczekujących

Źródło: CKE, matura maj 2025, poziom rozszerzony, zadanie 1