Zadanie 2 · 3 pkt · dowód

Nierówność z sześcianem sumy

Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $a$ i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $b$ takich, że $b \ne \frac{1}{2}a$ ⁠, prawdziwa jest nierówność $(a + 2b)^3 > 8a^2b + 16ab^2$

Pokaż odpowiedź i rozwiązanieSpróbuj najpierw sam(a), potem sprawdź.

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwijamy lewą stronę ze wzoru na sześcian sumy i przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę.
$a^3 + 6a^2b + 12ab^2 + 8b^3 - 8a^2b - 16ab^2 > 0$
Redukujemy wyrazy podobne i grupujemy je tak, żeby w obu grupach wystąpił czynnik $(a - 2b)$ ⁠.
$a^3 - 2a^2b - 4ab^2 + 8b^3 = a^2(a - 2b) - 4b^2(a - 2b) > 0$
Do tego miejsca: 1 pkt
Wyłączamy $(a - 2b)$ przed nawias i rozkładamy różnicę kwadratów.
$(a - 2b)(a^2 - 4b^2) = (a - 2b)(a - 2b)(a + 2b) = (a - 2b)^2(a + 2b) > 0$
Do tego miejsca: 2 pkt
Liczby $a$ i $b$ są dodatnie, więc $a + 2b > 0$ ⁠, a z warunku $b \ne \frac{1}{2}a$ mamy $a - 2b \ne 0$ ⁠, więc $(a - 2b)^2 > 0$ ⁠; iloczyn liczb dodatnich jest dodatni, a otrzymana nierówność jest równoważna nierówności z zadania.
$a + 2b > 0, \quad (a - 2b)^2 > 0 \;\Rightarrow\; (a - 2b)^2(a + 2b) > 0$
Do tego miejsca: 3 pkt

Odpowiedź

Nierówność $(a + 2b)^3 > 8a^2b + 16ab^2$ jest prawdziwa dla wszystkich dodatnich liczb $a$ i $b$ takich, że $b \ne \frac{1}{2}a$ ⁠, co należało wykazać.

Jak to jest punktowane

Za rozwiązanie jest jeden poziom — najwyższy, który spełnia.

3 pktpoprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania (tj. spełnienie kryterium za 2 punkty oraz zapisanie, że $a + 2b > 0$ oraz uzasadnienie, że dla liczb spełniających warunek $b \ne \frac{1}{2}a$ zachodzi $(a - 2b)^2 > 0$ ⁠).
2 pktprzekształcenie nierówności do postaci $(a - 2b)^2(a + 2b) > 0$ ALBO– przekształcenie nierówności do postaci $(a - 2b)^2 > 0$ ⁠,ALBO– uzasadnienie, że funkcja $f$ osiąga wartość najmniejszą dla $a = 2b$ ⁠.
1 pktzastosowanie wzoru na sześcian sumy i przekształcenie nierówności do postaci $a^2(a - 2b) - 4b^2(a - 2b) > 0$ ALBO– przekształcenie nierówności do postaci $(a + 2b)[(a + 2b)^2 - 8ab] > 0$ ⁠,ALBO– przekształcenie nierówności do postaci $(a + 2b)^2 > 8ab$ ⁠,ALBO– rozważenie funkcji $f(a) = a^3 - 2ba^2 - 4b^2a + 8b^3$ określonej dla $a > 0$ oraz obliczenie pochodnej tej funkcji i miejsca zerowego tej pochodnej: $f'(a) = 3a^2 - 4ba - 4b^2$ oraz $a = 2b$ ⁠.

Uznawane są też inne sposoby rozwiązania

Wyłączenie wspólnego czynnika: $(a + 2b)^3 - 8ab(a + 2b) > 0$ ⁠, czyli $(a + 2b)\left[(a + 2b)^2 - 8ab\right] = (a + 2b)(a - 2b)^2 > 0$ ⁠.
Pochodna: funkcja $f(a) = (a + 2b)^3 - 8a^2b - 16ab^2$ dla $a > 0$ ma pochodną $f'(a) = 3a^2 - 4ba - 4b^2$ ⁠, która zeruje się dla $a = 2b$ ⁠; $f$ maleje w $(0, 2b]$ ⁠, rośnie w $[2b, +\infty)$ ⁠, a $f(2b) = 0$ ⁠, więc $f(a) > 0$ dla $a \ne 2b$ ⁠.

Uwagi z zasad oceniania CKE

Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość nierówności jedynie dla wybranych wartości $a$ i $b$ ⁠, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

Chcesz rozwiązywać to zadanie z podpowiedziami? Zapisz się na listę oczekujących

Źródło: CKE, matura maj 2025, poziom rozszerzony, zadanie 2