Zadanie 12.2 · 4 pkt · otwarte

Stożek o najmniejszej objętości

Rozważamy wszystkie stożki, których wysokość jest większa od 55⁠, a odległość środka podstawy od tworzącej jest równa 55⁠.

Objętość VV stożka, jako funkcja wysokości hh stożka, wyraża się wzorem

V(h)=π3⋅25h3h2−25V(h) = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{25h^3}{h^2 - 25}

dla h∈(5,+∞)h \in (5, +\infty)⁠.

Wyznacz wysokość tego z rozważanych stożków, którego objętość jest najmniejsza. Oblicz tę najmniejszą objętość. Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź i rozwiązanieSpróbuj najpierw sam(a), potem sprawdź.

Rozwiązanie krok po kroku

  1. Obliczamy pochodną funkcji VV ze wzoru na pochodną ilorazu.

    V′(h)=π3⋅75h2⋅(h2−25)−25h3⋅2h(h2−25)2=π3⋅25h2(h2−75)(h2−25)2V'(h) = \dfrac{\pi}{3} \cdot \dfrac{75h^2 \cdot (h^2 - 25) - 25h^3 \cdot 2h}{(h^2 - 25)^2} = \dfrac{\pi}{3} \cdot \dfrac{25h^2(h^2 - 75)}{(h^2 - 25)^2}

    Do tego miejsca: 1 pkt

  2. W przedziale (5,+∞)(5, +\infty) czynnik 25h225h^2 i mianownik są dodatnie, więc pochodna zeruje się tylko dla h2=75h^2 = 75⁠.

    V′(h)=0  ⇔  h2=75  ⇔  h=53∈(5,+∞)V'(h) = 0 \;\Leftrightarrow\; h^2 = 75 \;\Leftrightarrow\; h = 5\sqrt{3} \in (5, +\infty)

    Do tego miejsca: 2 pkt

  3. Znak pochodnej jest taki jak znak h2−75h^2 - 75⁠, więc funkcja VV maleje w przedziale (5,53](5, 5\sqrt{3}] i rośnie w przedziale [53,+∞)[5\sqrt{3}, +\infty)⁠; najmniejszą wartość przyjmuje zatem dla h=53h = 5\sqrt{3}⁠.

    V′(h)<0  dla  h∈(5,53),V′(h)>0  dla  h∈(53,+∞)V'(h) < 0 \;\text{dla}\; h \in (5, 5\sqrt{3}), \qquad V'(h) > 0 \;\text{dla}\; h \in (5\sqrt{3}, +\infty)

    Do tego miejsca: 3 pkt

  4. Obliczamy najmniejszą objętość.

    V(53)=π3⋅25⋅(53)3(53)2−25=π3⋅25⋅375350=1253π2V(5\sqrt{3}) = \dfrac{\pi}{3} \cdot \dfrac{25 \cdot (5\sqrt{3})^3}{(5\sqrt{3})^2 - 25} = \dfrac{\pi}{3} \cdot \dfrac{25 \cdot 375\sqrt{3}}{50} = \dfrac{125\sqrt{3}\pi}{2}

    Do tego miejsca: 4 pkt

Odpowiedź

Najmniejszą objętość ma stożek o wysokości h=53h = 5\sqrt{3}⁠; ta objętość jest równa 1253π2\frac{125\sqrt{3}\pi}{2}⁠.

Jak to jest punktowane

Za rozwiązanie jest jeden poziom — najwyższy, który spełnia.

  • 4 pktuzasadnienie, że funkcja VV przyjmuje wartość najmniejszą dla h=53h = 5\sqrt{3} oraz obliczenie objętości stożka o takiej wysokości: V(53)=1253π2V(5\sqrt{3}) = \frac{125\sqrt{3}\pi}{2}⁠.
  • 3 pktuzasadnienie (np. poprzez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja VV przyjmuje wartość najmniejszą dla h=53h = 5\sqrt{3}⁠.
  • 2 pktobliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji VV (lub funkcji 3π⋅V\frac{3}{\pi} \cdot V⁠): h=53h = 5\sqrt{3}⁠.
  • 1 pktwyznaczenie pochodnej funkcji VV (lub funkcji 3π⋅V\frac{3}{\pi} \cdot V⁠), np. V′(h)=π3⋅75h2⋅(h2−25)−25h3⋅2h(h2−25)2V'(h) = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{75h^2 \cdot (h^2 - 25) - 25h^3 \cdot 2h}{(h^2 - 25)^2}⁠.

Uznawane są też inne sposoby rozwiązania

  • Zamiast badania znaku pochodnej: VV jest ciągła, lim⁡h→5+V(h)=+∞\lim_{h \to 5^+} V(h) = +\infty i lim⁡h→+∞V(h)=+∞\lim_{h \to +\infty} V(h) = +\infty⁠, a h=53h = 5\sqrt{3} jest jedynym punktem, w którym pochodna się zeruje, więc w nim VV przyjmuje wartość najmniejszą.

Uwagi z zasad oceniania CKE

  • 1. Jeżeli zdający wyznacza pochodną ilorazu jako iloraz pochodnych, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
  • 2. Jeżeli z rozwiązania wynika, że zdający poprawnie stosuje wzór na pochodną ilorazu funkcji oraz zdający poprawnie wyznacza pochodne funkcji 25h325h^3 oraz h2−25h^2 - 25 i dalej popełnia błędy, otrzymując pochodną w postaci a⋅75h2(h2−25)−25h3⋅2h(h2−25)a \cdot \frac{75h^2(h^2 - 25) - 25h^3 \cdot 2h}{(h^2 - 25)} (gdzie a≠0a \ne 0⁠) lub B(h)(h2−25)2\frac{B(h)}{(h^2 - 25)^2}⁠, gdzie BB jest wielomianem stopnia czwartego, który w przedziale (5,+∞)(5, +\infty) ma dokładnie jeden pierwiastek, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (za miejsce zerowe pochodnej, za uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości funkcji, za obliczenie najmniejszej wartości funkcji VV⁠).Jeżeli z rozwiązania nie wynika, że zdający poprawnie stosuje wzór na pochodną ilorazu funkcji lub zdający błędnie wyznacza pochodną funkcji 25h325h^3 lub h2−25h^2 - 25 i dalej popełnia błędy, otrzymując pochodną w postaci 75h2(h2−25)−25h3⋅2h(h2−25)\frac{75h^2(h^2 - 25) - 25h^3 \cdot 2h}{(h^2 - 25)} lub B(h)(h2−25)2\frac{B(h)}{(h^2 - 25)^2}⁠, gdzie BB jest wielomianem stopnia czwartego, który w przedziale (5,+∞)(5, +\infty) ma dokładnie jeden pierwiastek, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości funkcji i za obliczenie najmniejszej wartości funkcji VV⁠).
  • 3. Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja osiąga wartość najmniejszą dla wyznaczonej wartości hh⁠, przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuację, gdy zdający bada znak pochodnejORAZ:– opisuje (słownie lub graficznie – np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji VVLUB– zapisuje, że dla wyznaczonej wartości hh funkcja VV ma minimum lokalne i jest to jednocześnie jej najmniejsza wartość,LUB– zapisuje, że dla wyznaczonej wartości hh funkcja VV ma minimum lokalne i jest to jedyne ekstremum tej funkcji.Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak, i zaznaczając na rysunku (np. znakami „+” i „-”) znak pochodnej.
  • 4. Jeżeli zdający przedstawi niepełne uzasadnienie, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (nie otrzymuje punktu za uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości).
  • 5. Jeżeli zdający, uzasadniając najmniejszą wartość funkcji, rozpatruje funkcję w R\mathbb{R} lub R+\mathbb{R}_+⁠, to może uzyskać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.
  • 6. Jeżeli zdający nie uzasadnia istnienia najmniejszej wartości funkcji, to może uzyskać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za pochodną i 1 punkt za miejsce zerowe pochodnej).

Chcesz rozwiązywać to zadanie z podpowiedziami? Zapisz się na listę oczekujących

Źródło: CKE, matura maj 2025, poziom rozszerzony, zadanie 12.2