Nierówność z dwiema wartościami bezwzględnymi

Jak to jest punktowane

Za rozwiązanie jest jeden poziom — najwyższy, który spełnia.

• 4 pktzastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: $x \in (-\infty, -10) \cup \left(-\frac{2}{3}, +\infty\right)$⁠.
• 3 pktzapisanie trzech przedziałów: $(-\infty, -3)$ i $[-3, 2)$ i $[2, +\infty)$ (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym z tych przedziałów oraz rozwiązanie nierówności w dwóch spośród tych przedziałów - tj. wyznaczenie części wspólnych zbiorów rozwiązań zapisanych nierówności z rozpatrywanymi przedziałami,ALBO– zapisanie czterech przypadków: $x + 3 < 0$ i $x - 2 < 0$⁠, $x + 3 < 0$ i $x - 2 \ge 0$⁠, $x + 3 \ge 0$ i $x - 2 < 0$⁠, $x + 3 \ge 0$ i $x - 2 \ge 0$ (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym z tych przypadków oraz rozwiązanie nierówności w dwóch spośród trzech następujących przypadków: $x + 3 < 0$ i $x - 2 < 0$⁠, $x + 3 \ge 0$ i $x - 2 < 0$⁠, $x + 3 \ge 0$ i $x - 2 \ge 0$ - tj. wyznaczenie części wspólnych zbiorów rozwiązań zapisanych nierówności,ALBO– zapisanie, że przypadek $x + 3 < 0$ i $x - 2 \ge 0$ jest sprzeczny oraz zapisanie trzech przypadków: $x + 3 < 0$ i $x - 2 < 0$⁠, $x + 3 \ge 0$ i $x - 2 < 0$⁠, $x + 3 \ge 0$ i $x - 2 \ge 0$ (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym z tych przypadków oraz rozwiązanie nierówności w dwóch spośród tych trzech przypadków - tj. wyznaczenie części wspólnych zbiorów rozwiązań zapisanych nierówności,ALBO– zapisanie nierówności w postaci równoważnej koniunkcji dwóch nierówności: $x - 2 < -2 + 2 \cdot |x + 3|$ i $x - 2 > -(-2 + 2 \cdot |x + 3|)$⁠, a następnie w postaci równoważnej koniunkcji alternatyw nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej: $(x + 3 > \frac{1}{2}x$ lub $x + 3 < -\frac{1}{2}x)$ i $(x + 3 > \frac{4 - x}{2}$ lub $x + 3 < -\frac{4 - x}{2})$⁠,ALBO– odczytanie z wykresów funkcji $f$ oraz $g$ pierwszych współrzędnych punktów ich przecięcia: $x = -\frac{2}{3}$ oraz $x = -10$ i sprawdzenie rachunkiem poprawności odczytanych współrzędnych.
• 2 pktzapisanie trzech przedziałów: $(-\infty, -3)$ i $[-3, 2)$ i $[2, +\infty)$ (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym z tych przedziałówALBO– zapisanie czterech przypadków: $x + 3 < 0$ i $x - 2 < 0$⁠, $x + 3 < 0$ i $x - 2 \ge 0$⁠, $x + 3 \ge 0$ i $x - 2 < 0$⁠, $x + 3 \ge 0$ i $x - 2 \ge 0$ (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym z tych przypadków,ALBO– zapisanie trzech przypadków: $x + 3 < 0$ i $x - 2 < 0$⁠, $x + 3 \ge 0$ i $x - 2 < 0$⁠, $x + 3 \ge 0$ i $x - 2 \ge 0$ (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym z tych przypadków oraz zapisanie, że przypadek $x + 3 < 0$ i $x - 2 \ge 0$ jest sprzeczny,ALBO– zapisanie nierówności w postaci równoważnej koniunkcji dwóch nierówności: $x - 2 < -2 + 2 \cdot |x + 3|$ i $x - 2 > -(-2 + 2 \cdot |x + 3|)$⁠,ALBO– narysowanie wykresów funkcji $f(x) = |x - 2|$ oraz $g(x) = 2 \cdot |x + 3| - 2$⁠.
• 1 pktzapisanie trzech przedziałów: $(-\infty, -3)$ i $[-3, 2)$ i $[2, +\infty)$ (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie danej nierówności w jednym z tych przedziałów bez użycia symbolu wartości bezwzględnejALBO– zapisanie jednego z przedziałów: $(-\infty, -3)$⁠, $[-3, 2)$⁠, $[2, +\infty)$ (z dokładnością do domknięcia) oraz rozwiązanie danej nierówności w tym przedziale - tj. wyznaczenie części wspólnej zbioru rozwiązań zapisanej nierówności z rozpatrywanym przedziałem,ALBO– zapisanie czterech przypadków: $x + 3 < 0$ i $x - 2 < 0$⁠, $x + 3 < 0$ i $x - 2 \ge 0$⁠, $x + 3 \ge 0$ i $x - 2 < 0$⁠, $x + 3 \ge 0$ i $x - 2 \ge 0$ (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie danej nierówności w jednym z tych przypadków bez użycia wartości bezwzględnej,ALBO– zapisanie jednego z trzech przypadków: $x + 3 < 0$ i $x - 2 < 0$⁠, $x + 3 \ge 0$ i $x - 2 < 0$⁠, $x + 3 \ge 0$ i $x - 2 \ge 0$ (z dokładnością do domknięcia) oraz rozwiązanie danej nierówności w tym przypadku - tj. wyznaczenie części wspólnej zbiorów rozwiązań zapisanych nierówności.

Uznawane są też inne sposoby rozwiązania

• Koniunkcja nierówności: $x - 2 < -2 + 2 \cdot |x + 3|$ i $x - 2 > -(-2 + 2 \cdot |x + 3|)$⁠, czyli $|x + 3| > \frac{1}{2}x$ i $|x + 3| > \frac{4 - x}{2}$⁠; pierwszą spełnia każda liczba rzeczywista, a drugą spełniają liczby, dla których $x < -10$ lub $x > -\frac{2}{3}$⁠.

Uwagi z zasad oceniania CKE

• 1. Jeżeli zdający, zapisując nierówność bez użycia wartości bezwzględnej, popełni błąd, który nie jest rachunkowy, tylko w jednym z rozpatrywanych przypadków/przedziałów i rozwiąże zadanie do końca, to może uzyskać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej punktacji zgodnej z zasadami oceniania.
• 2. Jeżeli zdający nie rozpatruje przedziałów, które wyczerpują zbiór wszystkich liczb rzeczywistych i w których nierówność ma różne postaci (lub rozpatruje przypadki wyznaczone jedynie przez nierówności ostre, które nie wyczerpują zbioru $\mathbb{R}$⁠), to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.
• 3. Jeżeli zdający przy rozwiązaniu graficznym poda zbiór rozwiązań $(-\infty, -10) \cup \left(-\frac{2}{3}, +\infty\right)$⁠, ale nie sprawdzi rachunkiem pierwszych współrzędnych punktów przecięcia wykresów funkcji $f$ i $g$⁠, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.