Suma szeregu geometrycznego z dwóch warunków

Jak to jest punktowane

Za rozwiązanie jest jeden poziom — najwyższy, który spełnia.

• 4 pktzastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: $\frac{27}{2}$ lub $27$⁠.
• 3 pktobliczenie $a_1$ oraz $q$⁠: $(a_1, q) = \left(18, \frac{1}{3}\right)$⁠, $(a_1, q) = \left(18, -\frac{1}{3}\right)$⁠, $(a_1, q) = (2, 3)$⁠, $(a_1, q) = (2, -3)$ALBO– obliczenie $a_3$ oraz $q$⁠: $(a_3, q) = \left(2, \frac{1}{3}\right)$⁠, $(a_3, q) = \left(2, -\frac{1}{3}\right)$⁠, $(a_3, q) = (18, 3)$⁠, $(a_3, q) = (18, -3)$⁠,ALBO– obliczenie $a_2$ oraz $q$⁠: $(a_2, q) = (-6, -3)$⁠, $(a_2, q) = \left(-6, -\frac{1}{3}\right)$⁠, $(a_2, q) = \left(6, \frac{1}{3}\right)$⁠, $(a_2, q) = (6, 3)$ (dla sposobu III),ALBO– wyznaczenie jednej z par $(a_1, q)$⁠, dla której szereg geometryczny jest zbieżny i obliczenie sumy tego szeregu, np. $(a_1, q) = \left(18, \frac{1}{3}\right)$ i $S = 27$⁠, $(a_1, q) = \left(18, -\frac{1}{3}\right)$ i $S = \frac{27}{2}$⁠,ALBO– wyznaczenie jednej z par $(a_3, q)$⁠, dla której szereg geometryczny jest zbieżny i obliczenie sumy tego szeregu, np. $(a_3, q) = \left(2, \frac{1}{3}\right)$ i $S = 27$⁠, $(a_3, q) = \left(2, -\frac{1}{3}\right)$ i $S = \frac{27}{2}$⁠,ALBO– wyznaczenie jednej z par $(a_2, q)$⁠, dla której szereg geometryczny jest zbieżny i obliczenie sumy tego szeregu, np. $(a_2, q) = \left(6, \frac{1}{3}\right)$ i $S = 27$⁠, $(a_2, q) = \left(-6, -\frac{1}{3}\right)$ i $S = \frac{27}{2}$ (dla sposobu III).
• 2 pktobliczenie $a_1$ : $a_1 = 2$ oraz $a_1 = 18$ALBO– obliczenie $a_3$ : $a_3 = 18$ oraz $a_3 = 2$⁠,ALBO– obliczenie $q^2$⁠: $q^2 = 9$ oraz $q^2 = \frac{1}{9}$⁠,ALBO– zapisanie alternatywy równań $-\frac{6}{q} - 6q = 20$ lub $\frac{6}{q} + 6q = 20$ (dla sposobu III),ALBO– zapisanie równania $\frac{36}{q^2} + 36q^2 = 328$ (dla sposobu III).
• 1 pktzapisanie równania z jedną niewiadomą ($a_1$ lub $a_3$⁠, lub $q$⁠), np. $a_1^2 + (20 - a_1)^2 = 328$⁠, $(20 - a_3)^2 + a_3^2 = 328$⁠, $\frac{400}{(q^2 + 1)^2} \cdot (1 + q^4) = 328$ALBO– zapisanie równania z jedną niewiadomą $a_2$⁠, np. $a_2^2 = 36$⁠, $20^2 - 2a_2^2 = 328$ (dla sposobu III).

Uznawane są też inne sposoby rozwiązania

• Z ilorazu: $a_1 = \frac{20}{q^2 + 1}$⁠, więc $\frac{400}{(q^2 + 1)^2} \cdot (1 + q^4) = 328$⁠, czyli $9q^4 - 82q^2 + 9 = 0$ i $q^2 = 9$ lub $q^2 = \frac{1}{9}$⁠.
• Przez wyraz $a_2$ (bo $a_1a_3 = a_2^2$⁠) mamy $a_1^2 + a_3^2 = (a_1 + a_3)^2 - 2a_1a_3 = 20^2 - 2a_2^2 = 328$⁠, więc $a_2 = -6$ lub $a_2 = 6$⁠, a z równości $\frac{a_2}{q} + a_2q = 20$ dostajemy $q = -\frac{1}{3}$ lub $q = -3$ (dla $a_2 = -6$⁠) oraz $q = \frac{1}{3}$ lub $q = 3$ (dla $a_2 = 6$⁠).

Uwagi z zasad oceniania CKE

• 1. Jeżeli zdający odrzuci otrzymane wartości $q = 3$ oraz $q = -3$ (lub parę $(a_1, a_3) = (2, 18)$⁠) bez komentarza, to może otrzymać 4 punkty za całe rozwiązanie.
• 2. Jeżeli zdający nie odrzuci wartości $q = 3$ oraz $q = -3$ i zastosuje wzór na sumę szeregu geometrycznego dla $q = 3$ (albo dla $q = -3$⁠), to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.
• 3. a) Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy, ale otrzyma co najmniej jeden iloraz spełniający warunek $|q| < 1$ oraz co najmniej jeden iloraz spełniający warunek $|q| \ge 1$ i rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (2 punkty za pary $(a_1, q)$ oraz 1 punkt za obliczenie sum szeregów dla wszystkich otrzymanych ilorazów $q$ spełniających warunek $|q| < 1$⁠, o ile nie obliczy sumy szeregu dla ilorazu spełniającego warunek $|q| \ge 1$⁠).
• 3. b) Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy, ale otrzyma co najmniej dwa ilorazy i wszystkie z nich spełniają warunek $|q| < 1$ oraz rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za pary $(a_1, q)$ oraz 1 punkt za obliczenie sum szeregów dla wszystkich otrzymanych ilorazów $q$⁠), o ile nie nabył prawa do innej punktacji zgodnej z zasadami oceniania.
• 4. Jeżeli zdający popełni błąd, który nie jest rachunkowy, ale otrzyma co najmniej jeden iloraz spełniający warunek $|q| < 1$ i rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za pary $(a_1, q)$ oraz 1 punkt za obliczenie sum szeregów dla wszystkich otrzymanych ilorazów $q$ spełniających warunek $|q| < 1$⁠, o ile nie obliczy sumy szeregu dla ilorazu spełniającego warunek $|q| \ge 1$⁠), o ile nie nabył prawa do innej punktacji zgodnej z zasadami oceniania.
• 5. Jeżeli zdający odgadnie rozwiązanie układu równań $a_1 + a_3 = 20$ i $a_1^2 + a_3^2 = 328$⁠: $(a_1, a_3) = (18, 2)$ oraz obliczy poprawnie obie sumy szeregu: $S = 27$ i $S = \frac{27}{2}$ i nie obliczy sumy szeregu dla ilorazu spełniającego warunek $|q| \ge 1$⁠, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.
• 6. Jeżeli zdający odgadnie rozwiązania układu równań $a_1 + a_3 = 20$ i $a_1^2 + a_3^2 = 328$⁠: $(a_1, a_3) = (18, 2)$ oraz $(a_1, a_3) = (2, 18)$⁠, ale nie obliczy poprawnie obu sum szeregu: $S = 27$ i $S = \frac{27}{2}$ lub obliczy sumę szeregu dla ilorazu spełniającego warunek $|q| \ge 1$⁠, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.