Zadanie 12.1 · 2 pkt · dowód

Objętość stożka jako funkcja wysokości

Rozważamy wszystkie stożki, których wysokość jest większa od 55⁠, a odległość środka podstawy od tworzącej jest równa 55⁠.

Wykaż, że objętość VV stożka, jako funkcja wysokości hh stożka, wyraża się wzoremV(h)=π3⋅25h3h2−25V(h) = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{25h^3}{h^2 - 25}

Pokaż odpowiedź i rozwiązanieSpróbuj najpierw sam(a), potem sprawdź.

Rozwiązanie krok po kroku

  1. W przekroju osiowym stożka trójkąt utworzony przez środek podstawy, punkt okręgu podstawy i wierzchołek stożka jest prostokątny o przyprostokątnych rr i hh oraz przeciwprostokątnej h2+r2\sqrt{h^2 + r^2} (tworząca); jego wysokość opuszczona na tworzącą ma długość 55⁠, więc jego pole zapisujemy na dwa sposoby.

    12rh=12⋅5⋅h2+r2\dfrac{1}{2}rh = \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot \sqrt{h^2 + r^2}

    Do tego miejsca: 1 pkt

  2. Obie strony są dodatnie, więc podnosimy je do kwadratu i wyznaczamy r2r^2 (dla h>5h > 5 mamy h2−25>0h^2 - 25 > 0⁠).

    r2h2=25h2+25r2  ⇒  r2(h2−25)=25h2  ⇒  r2=25h2h2−25r^2h^2 = 25h^2 + 25r^2 \;\Rightarrow\; r^2(h^2 - 25) = 25h^2 \;\Rightarrow\; r^2 = \dfrac{25h^2}{h^2 - 25}

  3. Podstawiamy r2r^2 do wzoru na objętość stożka, co kończy dowód.

    V=13πr2h=13π⋅25h2h2−25⋅h=π3⋅25h3h2−25V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h = \dfrac{1}{3}\pi \cdot \dfrac{25h^2}{h^2 - 25} \cdot h = \dfrac{\pi}{3} \cdot \dfrac{25h^3}{h^2 - 25}

    Do tego miejsca: 2 pkt

Odpowiedź

V(h)=π3⋅25h3h2−25V(h) = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{25h^3}{h^2 - 25}⁠, co należało wykazać.

Jak to jest punktowane

Za rozwiązanie jest jeden poziom — najwyższy, który spełnia.

  • 2 pktpoprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.
  • 1 pktzapisanie związku między promieniem podstawy stożka a wysokością stożka, np. 12rh=12⋅5⋅h2+r2\frac{1}{2}rh = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot \sqrt{h^2 + r^2}⁠, (5r)2+(5h)2=1\left(\frac{5}{r}\right)^2 + \left(\frac{5}{h}\right)^2 = 1⁠, r5=hh2−25\frac{r}{5} = \frac{h}{\sqrt{h^2 - 25}}⁠.

Chcesz rozwiązywać to zadanie z podpowiedziami? Zapisz się na listę oczekujących

Źródło: CKE, matura maj 2025, poziom rozszerzony, zadanie 12.1