Zadanie 9 · 5 pkt · otwarte

Równanie trygonometryczne w przedziale [−π, π]

Rozwiąż równanie3cos⁡2x+3sin⁡(2x)−3sin⁡2x=03\cos^2 x + \sqrt{3}\sin(2x) - 3\sin^2 x = 0w przedziale [−π,π][-\pi, \pi]⁠. Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź i rozwiązanieSpróbuj najpierw sam(a), potem sprawdź.

Rozwiązanie krok po kroku

  1. Stosujemy wzór sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x \cos x⁠.

    3cos⁡2x+23sin⁡xcos⁡x−3sin⁡2x=03\cos^2 x + 2\sqrt{3}\sin x \cos x - 3\sin^2 x = 0

  2. Sprawdzamy liczby, dla których cos⁡x=0\cos x = 0 — wtedy sin⁡2x=1\sin^2 x = 1⁠, więc lewa strona jest równa −3-3 i żadna z tych liczb nie jest rozwiązaniem.

    x=π2+πk  ⇒  3⋅0+23⋅sin⁡x⋅0−3⋅1=−3≠0x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k \;\Rightarrow\; 3 \cdot 0 + 2\sqrt{3} \cdot \sin x \cdot 0 - 3 \cdot 1 = -3 \ne 0

    Do tego miejsca: 1 pkt

  3. Dla cos⁡x≠0\cos x \ne 0 dzielimy obie strony przez cos⁡2x\cos^2 x i korzystamy z równości sin⁡xcos⁡x=tg⁡x\frac{\sin x}{\cos x} = \operatorname{tg} x⁠.

    3+23tg⁡x−3tg⁡2x=0  ⇔  −3tg⁡2x+23tg⁡x+3=03 + 2\sqrt{3}\operatorname{tg} x - 3\operatorname{tg}^2 x = 0 \;\Leftrightarrow\; -3\operatorname{tg}^2 x + 2\sqrt{3}\operatorname{tg} x + 3 = 0

    Do tego miejsca: 2 pkt

  4. Obliczamy wyróżnik równania kwadratowego z niewiadomą tg⁡x\operatorname{tg} x⁠.

    Δ=(23)2−4⋅(−3)⋅3=48,Δ=43\Delta = (2\sqrt{3})^2 - 4 \cdot (-3) \cdot 3 = 48, \qquad \sqrt{\Delta} = 4\sqrt{3}

  5. Obliczamy pierwiastki tego równania.

    tg⁡x=−23−43−6=3  ∨  tg⁡x=−23+43−6=−33\operatorname{tg} x = \dfrac{-2\sqrt{3} - 4\sqrt{3}}{-6} = \sqrt{3} \;\lor\; \operatorname{tg} x = \dfrac{-2\sqrt{3} + 4\sqrt{3}}{-6} = -\dfrac{\sqrt{3}}{3}

    Do tego miejsca: 3 pkt

  6. Rozwiązujemy oba równania w zbiorze liczb rzeczywistych.

    tg⁡x=3  ⇔  x=π3+πk,tg⁡x=−33  ⇔  x=−π6+πk,k∈Z\operatorname{tg} x = \sqrt{3} \;\Leftrightarrow\; x = \dfrac{\pi}{3} + \pi k, \qquad \operatorname{tg} x = -\dfrac{\sqrt{3}}{3} \;\Leftrightarrow\; x = -\dfrac{\pi}{6} + \pi k, \qquad k \in \mathbb{Z}

    Do tego miejsca: 4 pkt

  7. Wybieramy rozwiązania należące do przedziału [−π,π][-\pi, \pi] — w pierwszej serii dla k=−1k = -1 i k=0k = 0⁠, w drugiej dla k=0k = 0 i k=1k = 1⁠.

    x∈{−2π3,  −π6,  π3,  5π6}x \in \left\{-\dfrac{2\pi}{3},\; -\dfrac{\pi}{6},\; \dfrac{\pi}{3},\; \dfrac{5\pi}{6}\right\}

    Do tego miejsca: 5 pkt

Odpowiedź

x∈{−2π3,−π6,π3,5π6}x \in \left\{-\frac{2\pi}{3}, -\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}\right\}

Jak to jest punktowane

Za rozwiązanie jest jeden poziom — najwyższy, który spełnia.

  • 5 pktZasady oceniania (dla sposobów I–III)zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: (−2π3)\left(-\frac{2\pi}{3}\right)⁠, (−π6)\left(-\frac{\pi}{6}\right)⁠, π3\frac{\pi}{3}⁠, 5π6\frac{5\pi}{6}⁠.Zasady oceniania (dla sposobów IV–V)zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: (−2π3)\left(-\frac{2\pi}{3}\right)⁠, (−π6)\left(-\frac{\pi}{6}\right)⁠, π3\frac{\pi}{3}⁠, 5π6\frac{5\pi}{6}⁠.
  • 4 pktZasady oceniania (dla sposobów I–III)zapisanie założenia cos⁡x≠0\cos x \ne 0 oraz rozwiązanie alternatywy równań tg⁡x=3\operatorname{tg} x = \sqrt{3} lub tg⁡x=−33\operatorname{tg} x = -\frac{\sqrt{3}}{3} w przedziale [−π,π][-\pi, \pi]⁠: (−2π3)\left(-\frac{2\pi}{3}\right)⁠, (−π6)\left(-\frac{\pi}{6}\right)⁠, π3\frac{\pi}{3}⁠, 5π6\frac{5\pi}{6} (dla sposobów I oraz III)ALBO– rozwiązanie jednego z równań alternatywy tg⁡x=3\operatorname{tg} x = \sqrt{3} lub tg⁡x=−33\operatorname{tg} x = -\frac{\sqrt{3}}{3}⁠, gdzie x≠π2+πkx \ne \frac{\pi}{2} + \pi k i k∈Zk \in \mathbb{Z}⁠, w przedziale [−π,π][-\pi, \pi]⁠, np.(−2π3)\left(-\frac{2\pi}{3}\right) i π3\frac{\pi}{3} (rozwiązania równania tg⁡x=3\operatorname{tg} x = \sqrt{3} w przedziale [−π,π][-\pi, \pi]⁠),(−π6)\left(-\frac{\pi}{6}\right) oraz 5π6\frac{5\pi}{6} (rozwiązania równania tg⁡x=−33\operatorname{tg} x = -\frac{\sqrt{3}}{3} w przedziale [−π,π][-\pi, \pi]⁠),oraz uzasadnienie, że liczby postaci π2+πk\frac{\pi}{2} + \pi k⁠, gdzie k∈Zk \in \mathbb{Z}⁠, nie spełniają równania 3cos⁡2x+23sin⁡xcos⁡x−3sin⁡2x=03\cos^2 x + 2\sqrt{3}\sin x \cos x - 3\sin^2 x = 0 (dla sposobów I oraz III),ALBO– rozwiązanie alternatywy równań tg⁡x=3\operatorname{tg} x = \sqrt{3} lub tg⁡x=−33\operatorname{tg} x = -\frac{\sqrt{3}}{3} w zbiorze R\mathbb{R}⁠: x=π3+πkx = \frac{\pi}{3} + \pi k oraz x=−π6+πkx = -\frac{\pi}{6} + \pi k⁠, gdzie k∈Zk \in \mathbb{Z}⁠, oraz uzasadnienie, że liczby postaci π2+πk\frac{\pi}{2} + \pi k⁠, gdzie k∈Zk \in \mathbb{Z}⁠, nie spełniają równania 3cos⁡2x+23sin⁡xcos⁡x−3sin⁡2x=03\cos^2 x + 2\sqrt{3}\sin x \cos x - 3\sin^2 x = 0 (dla sposobów I oraz III),ALBO– zapisanie założenia cos⁡(2x)≠0\cos(2x) \ne 0 oraz rozwiązanie równania tg⁡(2x)=−3\operatorname{tg}(2x) = -\sqrt{3} w przedziale [−π,π][-\pi, \pi]⁠: (−2π3)\left(-\frac{2\pi}{3}\right)⁠, (−π6)\left(-\frac{\pi}{6}\right)⁠, π3\frac{\pi}{3}⁠, 5π6\frac{5\pi}{6} (dla sposobu II),ALBO– rozwiązanie równania tg⁡(2x)=−3\operatorname{tg}(2x) = -\sqrt{3} w zbiorze R\mathbb{R}⁠: x=−π6+πk2x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}⁠, gdzie k∈Zk \in \mathbb{Z}⁠, oraz uzasadnienie, że liczby postaci π4+πk2\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}⁠, gdzie k∈Zk \in \mathbb{Z}⁠, nie spełniają równania 3cos⁡(2x)+3sin⁡(2x)=03\cos(2x) + \sqrt{3}\sin(2x) = 0 (dla sposobu II).Zasady oceniania (dla sposobów IV–V)rozwiązanie równania sin⁡(π3+2x)=0\sin\left(\frac{\pi}{3} + 2x\right) = 0 w zbiorze R\mathbb{R}⁠: x=−π6+πk2x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}⁠, gdzie k∈Zk \in \mathbb{Z} (dla sposobu IV),ALBO– rozwiązanie równania cos⁡(π6−2x)=0\cos\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right) = 0 w zbiorze R\mathbb{R}⁠: x=−π6−πk2x = -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi k}{2}⁠, gdzie k∈Zk \in \mathbb{Z} (dla sposobu IV),ALBO– rozwiązanie obydwu równań alternatywy cos⁡(π6+x)=0\cos\left(\frac{\pi}{6} + x\right) = 0 lub sin⁡(π6+x)=0\sin\left(\frac{\pi}{6} + x\right) = 0 w zbiorze R\mathbb{R}⁠:x=π3+πkx = \frac{\pi}{3} + \pi k oraz x=−π6+πkx = -\frac{\pi}{6} + \pi k⁠, gdzie k∈Zk \in \mathbb{Z} (dla sposobu V),ALBO– przekształcenie równania do postaci alternatywy równań cos⁡(π6+x)=0\cos\left(\frac{\pi}{6} + x\right) = 0 lub 3cos⁡x+3sin⁡x=0\sqrt{3}\cos x + 3\sin x = 0 oraz rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy w przedziale [−π,π][-\pi, \pi]⁠, np.(−2π3)\left(-\frac{2\pi}{3}\right) i π3\frac{\pi}{3} (rozwiązania równania cos⁡(π6+x)=0\cos\left(\frac{\pi}{6} + x\right) = 0 w przedziale [−π,π][-\pi, \pi]⁠),(−π6)\left(-\frac{\pi}{6}\right) oraz 5π6\frac{5\pi}{6} (rozwiązania równania 3cos⁡x+3sin⁡x=0\sqrt{3}\cos x + 3\sin x = 0 w przedziale [−π,π][-\pi, \pi]⁠),(dla sposobu V),ALBO– przekształcenie równania do postaci alternatywy równań 3cos⁡x−sin⁡x=0\sqrt{3}\cos x - \sin x = 0 lub sin⁡(π6+x)=0\sin\left(\frac{\pi}{6} + x\right) = 0 oraz rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy w przedziale [−π,π][-\pi, \pi]⁠, np.(−2π3)\left(-\frac{2\pi}{3}\right) i π3\frac{\pi}{3} (rozwiązania równania 3cos⁡x−sin⁡x=0\sqrt{3}\cos x - \sin x = 0 w przedziale [−π,π][-\pi, \pi]⁠),(−π6)\left(-\frac{\pi}{6}\right) oraz 5π6\frac{5\pi}{6} (rozwiązania równania sin⁡(π6+x)=0\sin\left(\frac{\pi}{6} + x\right) = 0 w przedziale [−π,π][-\pi, \pi]⁠),(dla sposobu V).
  • 3 pktZasady oceniania (dla sposobów I–III)zapisanie założenia cos⁡x≠0\cos x \ne 0 oraz rozwiązanie alternatywy równań tg⁡x=3\operatorname{tg} x = \sqrt{3} lub tg⁡x=−33\operatorname{tg} x = -\frac{\sqrt{3}}{3} w zbiorze R\mathbb{R}⁠:x=π3+πkx = \frac{\pi}{3} + \pi k oraz x=−π6+πkx = -\frac{\pi}{6} + \pi k⁠, gdzie k∈Zk \in \mathbb{Z} (dla sposobów I oraz III)ALBO– przekształcenie równania do postaci alternatywy równań tg⁡x=3\operatorname{tg} x = \sqrt{3} lub tg⁡x=−33\operatorname{tg} x = -\frac{\sqrt{3}}{3} oraz rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy w przedziale [−π,π][-\pi, \pi]⁠, np.(−2π3)\left(-\frac{2\pi}{3}\right) i π3\frac{\pi}{3} (rozwiązania równania tg⁡x=3\operatorname{tg} x = \sqrt{3} w przedziale [−π,π][-\pi, \pi]⁠),(−π6)\left(-\frac{\pi}{6}\right) i 5π6\frac{5\pi}{6} (rozwiązania równania tg⁡x=−33\operatorname{tg} x = -\frac{\sqrt{3}}{3} w przedziale [−π,π][-\pi, \pi]⁠),(dla sposobów I oraz III),ALBO– przekształcenie równania do postaci alternatywy równań tg⁡x=3\operatorname{tg} x = \sqrt{3} lub tg⁡x=−33\operatorname{tg} x = -\frac{\sqrt{3}}{3} oraz uzasadnienie, że liczby postaci π2+πk\frac{\pi}{2} + \pi k⁠, gdzie k∈Zk \in \mathbb{Z}⁠, nie spełniają równania 3cos⁡2x+23sin⁡xcos⁡x−3sin⁡2x=03\cos^2 x + 2\sqrt{3}\sin x \cos x - 3\sin^2 x = 0 (dla sposobów I oraz III)ALBO– zapisanie założenia cos⁡(2x)≠0\cos(2x) \ne 0 oraz rozwiązanie równania tg⁡(2x)=−3\operatorname{tg}(2x) = -\sqrt{3} w zbiorze R\mathbb{R}⁠: x=−π6+πk2x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}⁠, gdzie k∈Zk \in \mathbb{Z} (dla sposobu II),ALBO– przekształcenie równania do postaci tg⁡(2x)=−3\operatorname{tg}(2x) = -\sqrt{3} oraz uzasadnienie, że liczby postaci π4+πk2\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}⁠, gdzie k∈Zk \in \mathbb{Z}⁠, nie spełniają równania 3cos⁡(2x)+3sin⁡(2x)=03\cos(2x) + \sqrt{3}\sin(2x) = 0 (dla sposobu II).Zasady oceniania (dla sposobów IV–V)przekształcenie równania do postaci sin⁡(π3+2x)=0\sin\left(\frac{\pi}{3} + 2x\right) = 0 (dla sposobu IV)ALBO– przekształcenie równania do postaci cos⁡(π6−2x)=0\cos\left(\frac{\pi}{6} - 2x\right) = 0 (dla sposobu IV),ALBO– przekształcenie równania do postaci alternatywy równań cos⁡(π6+x)=0\cos\left(\frac{\pi}{6} + x\right) = 0 lub 3cos⁡x+3sin⁡x=0\sqrt{3}\cos x + 3\sin x = 0 oraz rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy w zbiorze R\mathbb{R}⁠, np.x=π3+πkx = \frac{\pi}{3} + \pi k (rozwiązania równania cos⁡(π6+x)=0\cos\left(\frac{\pi}{6} + x\right) = 0 w zbiorze R\mathbb{R}⁠),x=−π6+πkx = -\frac{\pi}{6} + \pi k (rozwiązania równania 3cos⁡x+3sin⁡x=0\sqrt{3}\cos x + 3\sin x = 0 w zbiorze R\mathbb{R}⁠),gdzie k∈Zk \in \mathbb{Z} (dla sposobu V),– przekształcenie równania do postaci alternatywy równań 3cos⁡x−sin⁡x=0\sqrt{3}\cos x - \sin x = 0 lub sin⁡(π6+x)=0\sin\left(\frac{\pi}{6} + x\right) = 0 oraz rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy w zbiorze R\mathbb{R}⁠, np.x=π3+πkx = \frac{\pi}{3} + \pi k (rozwiązania równania 3cos⁡x−sin⁡x=0\sqrt{3}\cos x - \sin x = 0 w zbiorze R\mathbb{R}⁠),x=−π6+πkx = -\frac{\pi}{6} + \pi k (rozwiązania równania sin⁡(π6+x)=0\sin\left(\frac{\pi}{6} + x\right) = 0 w zbiorze R\mathbb{R}⁠), gdzie k∈Zk \in \mathbb{Z} (dla sposobu V).
  • 2 pktZasady oceniania (dla sposobów I–III)przekształcenie równania do alternatywy równań tg⁡x=3\operatorname{tg} x = \sqrt{3} lub tg⁡x=−33\operatorname{tg} x = -\frac{\sqrt{3}}{3} (dla sposobów I oraz III)ALBO– przekształcenie równania do postaci −3tg⁡2x+23tg⁡x+3=0-3\operatorname{tg}^2 x + 2\sqrt{3}\operatorname{tg} x + 3 = 0 oraz uzasadnienie, że liczby postaci π2+πk\frac{\pi}{2} + \pi k⁠, gdzie k∈Zk \in \mathbb{Z}⁠, nie spełniają równania 3cos⁡2x+23sin⁡xcos⁡x−3sin⁡2x=03\cos^2 x + 2\sqrt{3}\sin x \cos x - 3\sin^2 x = 0 (dla sposobu I),ALBO– przekształcenie równania do postaci tg⁡(2x)=−3\operatorname{tg}(2x) = -\sqrt{3} (dla sposobu II).Zasady oceniania (dla sposobów IV–V)przekształcenie równania do postaci 32cos⁡(2x)+12sin⁡(2x)=0\frac{\sqrt{3}}{2}\cos(2x) + \frac{1}{2}\sin(2x) = 0 (dla sposobu IV)ALBO– przekształcenie równania do postaci alternatywy równań cos⁡(π6+x)=0\cos\left(\frac{\pi}{6} + x\right) = 0 lub 3cos⁡x+3sin⁡x=0\sqrt{3}\cos x + 3\sin x = 0 (dla sposobu V),ALBO– przekształcenie równania do postaci alternatywy równań 3cos⁡x−sin⁡x=0\sqrt{3}\cos x - \sin x = 0 lub sin⁡(π6+x)=0\sin\left(\frac{\pi}{6} + x\right) = 0 (dla sposobu V).
  • 1 pktZasady oceniania (dla sposobów I–III)przekształcenie równania do postaci −3tg⁡2x+23tg⁡x+3=0-3\operatorname{tg}^2 x + 2\sqrt{3}\operatorname{tg} x + 3 = 0 (dla sposobu I)ALBO– zastosowanie wzoru na cosinus podwojonego kąta i zapisanie równania 3cos⁡(2x)+3sin⁡(2x)=03\cos(2x) + \sqrt{3}\sin(2x) = 0 (dla sposobu II),ALBO– zastosowanie wzoru na sinus podwojonego kąta oraz wzorów skróconego mnożenia i przekształcenie równania do postaci (3cos⁡x+sin⁡x−2sin⁡x)(3cos⁡x+sin⁡x+2sin⁡x)=0(\sqrt{3}\cos x + \sin x - 2\sin x)(\sqrt{3}\cos x + \sin x + 2\sin x) = 0 (dla sposobu III),ALBO– uzasadnienie, że liczby postaci π2+πk\frac{\pi}{2} + \pi k⁠, gdzie k∈Zk \in \mathbb{Z}⁠, nie spełniają równania 3cos⁡2x+23sin⁡xcos⁡x−3sin⁡2x=03\cos^2 x + 2\sqrt{3}\sin x \cos x - 3\sin^2 x = 0 (dla sposobów I oraz III).Zasady oceniania (dla sposobów IV–V)zastosowanie wzoru na cosinus podwojonego kąta i zapisanie równania 3cos⁡(2x)+3sin⁡(2x)=03\cos(2x) + \sqrt{3}\sin(2x) = 0 (dla sposobu IV)ALBO– zastosowanie wzoru na sinus podwojonego kąta oraz wzorów skróconego mnożenia i przekształcenie równania do postaci (3cos⁡x+sin⁡x−2sin⁡x)(3cos⁡x+sin⁡x+2sin⁡x)=0(\sqrt{3}\cos x + \sin x - 2\sin x)(\sqrt{3}\cos x + \sin x + 2\sin x) = 0 (dla sposobu V),ALBO– zastosowanie wzoru na sinus podwojonego kąta i obliczenie wyróżnika Δ\Delta trójmianu kwadratowego 3cos⁡2x+23sin⁡xcos⁡x−3sin⁡2x3\cos^2 x + 2\sqrt{3}\sin x \cos x - 3\sin^2 x zmiennej np. cos⁡x\cos x⁠: Δ=(43sin⁡x)2\Delta = (4\sqrt{3}\sin x)^2⁠.

Uznawane są też inne sposoby rozwiązania

  • Wzór na cosinus podwojonego kąta: 3cos⁡(2x)+3sin⁡(2x)=03\cos(2x) + \sqrt{3}\sin(2x) = 0⁠; liczby, dla których cos⁡(2x)=0\cos(2x) = 0⁠, nie spełniają równania, a dla pozostałych tg⁡(2x)=−3\operatorname{tg}(2x) = -\sqrt{3}⁠, czyli x=−π6+πk2x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}⁠.
  • Wzory skróconego mnożenia: (3cos⁡x+sin⁡x)2−4sin⁡2x=0(\sqrt{3}\cos x + \sin x)^2 - 4\sin^2 x = 0⁠, czyli (3cos⁡x−sin⁡x)(3cos⁡x+3sin⁡x)=0(\sqrt{3}\cos x - \sin x)(\sqrt{3}\cos x + 3\sin x) = 0⁠, a dalej tangens z osobnym sprawdzeniem cos⁡x=0\cos x = 0⁠.
  • Sinus sumy: po podzieleniu 3cos⁡(2x)+3sin⁡(2x)=03\cos(2x) + \sqrt{3}\sin(2x) = 0 przez 232\sqrt{3} mamy sin⁡(π3+2x)=0\sin\left(\frac{\pi}{3} + 2x\right) = 0⁠, więc x=−π6+πk2x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}⁠.
  • Alternatywa 3cos⁡x−sin⁡x=0\sqrt{3}\cos x - \sin x = 0 lub 3cos⁡x+3sin⁡x=0\sqrt{3}\cos x + 3\sin x = 0 zapisana jako cos⁡(π6+x)=0\cos\left(\frac{\pi}{6} + x\right) = 0 lub sin⁡(π6+x)=0\sin\left(\frac{\pi}{6} + x\right) = 0⁠, czyli x=π3+πkx = \frac{\pi}{3} + \pi k lub x=−π6+πkx = -\frac{\pi}{6} + \pi k⁠.

Uwagi z zasad oceniania CKE

  • 1. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest:a) niepoprawne zastosowanie wzoru na sumę/różnicę cosinusów/sinusów,b) niepoprawne zastosowanie wzoru na iloczyn cosinusów/sinusów,c) błędne zastosowanie nieparzystości/parzystości funkcji trygonometrycznej,ale zdający otrzyma elementarne równania trygonometryczne postaci sin⁡(ax+b)=c\sin(ax + b) = c⁠, cos⁡(ax+b)=c\cos(ax + b) = c⁠, gdzie a≠0a \ne 0⁠, a2≠1a^2 \ne 1⁠, b≠0b \ne 0⁠, c∈[−1,1]c \in [-1, 1]⁠, i rozwiązanie doprowadzi konsekwentnie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej punktacji zgodnej z zasadami oceniania.
  • 2. Jeżeli zdający błędnie stosuje metodę analizy starożytnych, np. podnosi obie strony równania 3cos⁡(2x)=−3sin⁡(2x)3\cos(2x) = -\sqrt{3}\sin(2x) do kwadratu i nie sprawdza rachunkiem, czy wszystkie otrzymane liczby są rozwiązaniami, to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 3 punkty; natomiast jeżeli odrzuci co najmniej jedno rozwiązanie „obce” (ale nie odrzuci wszystkich rozwiązań „obcych”), to może otrzymać co najwyżej 4 punkty za całe rozwiązanie.
  • 3. Jeżeli zdający dzieli obie strony równania przez wyrażenie a(x)a(x) zawierające niewiadomą xx i nie zapisze założenia a(x)≠0a(x) \ne 0⁠, ani też nie rozważa przypadku a(x)=0a(x) = 0⁠, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.

Chcesz rozwiązywać to zadanie z podpowiedziami? Zapisz się na listę oczekujących

Źródło: CKE, matura maj 2025, poziom rozszerzony, zadanie 9