Zadanie 4 · 3 pkt · otwarte

Prawdopodobieństwo warunkowe w czterech rzutach kostką

Doświadczenie losowe polega na czterokrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy co najmniej jeden raz sześć oczek, pod warunkiem że otrzymamy dokładnie dwa razy pięć oczek. Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź i rozwiązanieSpróbuj najpierw sam(a), potem sprawdź.

Rozwiązanie krok po kroku

  1. Zdarzenia elementarne to ciągi czterech wyników ze zbioru {1,2,3,4,5,6}\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}⁠; oznaczamy przez AA zdarzenie, że co najmniej raz otrzymamy sześć oczek, a przez BB — że dokładnie dwa razy otrzymamy pięć oczek.

    P(A∣B)=P(A∩B)P(B)=∣A∩B∣∣B∣P(A|B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{|A \cap B|}{|B|}

  2. W zdarzeniu BB wybieramy dwa rzuty z piątkami, a w każdym z dwóch pozostałych rzutów wypada jeden z pięciu wyników różnych od pięciu.

    ∣B∣=(42)⋅5⋅5=6⋅25=150|B| = \binom{4}{2} \cdot 5 \cdot 5 = 6 \cdot 25 = 150

    Do tego miejsca: 1 pkt

  3. W zdarzeniu A∩BA \cap B poza dwiema piątkami jest jedna szóstka i jeden wynik ze zbioru {1,2,3,4}\{1, 2, 3, 4\} albo dwie szóstki.

    ∣A∩B∣=(42)⋅(21)⋅4+(42)=48+6=54|A \cap B| = \binom{4}{2} \cdot \binom{2}{1} \cdot 4 + \binom{4}{2} = 48 + 6 = 54

    Do tego miejsca: 2 pkt

  4. Obliczamy prawdopodobieństwo warunkowe.

    P(A∣B)=54150=925P(A|B) = \dfrac{54}{150} = \dfrac{9}{25}

    Do tego miejsca: 3 pkt

Odpowiedź

P(A∣B)=925P(A|B) = \frac{9}{25}

Jak to jest punktowane

Za rozwiązanie jest jeden poziom — najwyższy, który spełnia.

  • 3 pktzastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 925\frac{9}{25} (lub 54150\frac{54}{150}⁠).
  • 2 pktwyznaczenie mocy zdarzeń BB oraz A∩BA \cap B⁠, np. ∣B∣=(42)⋅5⋅5|B| = \binom{4}{2} \cdot 5 \cdot 5 oraz ∣A∩B∣=(42)⋅(21)⋅4+(42)|A \cap B| = \binom{4}{2} \cdot \binom{2}{1} \cdot 4 + \binom{4}{2}⁠.
  • 1 pktwyznaczenie mocy zdarzenia BB⁠, np. ∣B∣=(42)⋅5⋅5|B| = \binom{4}{2} \cdot 5 \cdot 5⁠,ALBO– wyznaczenie mocy zdarzenia A∩BA \cap B⁠, np. ∣A∩B∣=(42)⋅(21)⋅4+(42)|A \cap B| = \binom{4}{2} \cdot \binom{2}{1} \cdot 4 + \binom{4}{2}⁠.

Uwagi z zasad oceniania CKE

  • Jeżeli zdający, obliczając P(A∩B)P(B)\frac{P(A \cap B)}{P(B)} (lub ∣A∩B∣∣B∣\frac{|A \cap B|}{|B|}⁠), pominie w liczniku i mianowniku czynnik (42)\binom{4}{2} bez stosownego komentarza, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.

Chcesz rozwiązywać to zadanie z podpowiedziami? Zapisz się na listę oczekujących

Źródło: CKE, matura maj 2025, poziom rozszerzony, zadanie 4