Zadanie 11 · 6 pkt · otwarte

Dwa miejsca zerowe tego samego znaku z warunkiem na ich różnicę

Funkcja ff jest określona wzorem

f(x)=(2−m)x2−2(2m+1)x+m+8f(x) = (2 - m)x^2 - 2(2m + 1)x + m + 8

dla każdej liczby rzeczywistej xx⁠, gdzie mm jest liczbą rzeczywistą różną od 22⁠.

Wyznacz wszystkie wartości parametru mm⁠, dla których funkcja ff ma dokładnie dwa miejsca zerowe x1x_1 oraz x2x_2 tego samego znaku, które spełniają warunek(x1−x2)2≤180(x_1 - x_2)^2 \le 180Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź i rozwiązanieSpróbuj najpierw sam(a), potem sprawdź.

Rozwiązanie krok po kroku

  1. Funkcja kwadratowa (m≠2m \ne 2⁠) ma dokładnie dwa miejsca zerowe, gdy jej wyróżnik jest dodatni; obliczamy wyróżnik.

    Δ=[−2(2m+1)]2−4(2−m)(m+8)=20m2+40m−60=20(m−1)(m+3)\Delta = [-2(2m + 1)]^2 - 4(2 - m)(m + 8) = 20m^2 + 40m - 60 = 20(m - 1)(m + 3)

  2. Wyróżnik jest dodatni dla liczb spoza przedziału między pierwiastkami −3-3 i 11⁠.

    20(m−1)(m+3)>0  ⇔  m∈(−∞,−3)∪(1,+∞)20(m - 1)(m + 3) > 0 \;\Leftrightarrow\; m \in (-\infty, -3) \cup (1, +\infty)

    Do tego miejsca · Etap I: 1 pkt

  3. Miejsca zerowe mają ten sam znak, gdy ich iloczyn jest dodatni; korzystamy ze wzoru Viète’a x1⋅x2=cax_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}⁠.

    x1⋅x2=m+82−m>0  ⇔  (m+8)(2−m)>0  ⇔  m∈(−8,2)x_1 \cdot x_2 = \dfrac{m + 8}{2 - m} > 0 \;\Leftrightarrow\; (m + 8)(2 - m) > 0 \;\Leftrightarrow\; m \in (-8, 2)

    Do tego miejsca · Etap II: 1 pkt

  4. Przekształcamy warunek tak, żeby wystąpiły w nim suma i iloczyn miejsc zerowych.

    (x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2≤180(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 \le 180

    Do tego miejsca · Etap III: 1 pkt

  5. Podstawiamy x1+x2=−ba=2(2m+1)2−mx_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = \frac{2(2m + 1)}{2 - m} i x1⋅x2=m+82−mx_1 \cdot x_2 = \frac{m + 8}{2 - m}⁠.

    [2(2m+1)2−m]2−4⋅m+82−m≤180\left[\dfrac{2(2m + 1)}{2 - m}\right]^2 - 4 \cdot \dfrac{m + 8}{2 - m} \le 180

    Do tego miejsca · Etap III: 2 pkt

  6. Mnożymy obie strony przez (2−m)2>0(2 - m)^2 > 0⁠.

    4(2m+1)2−4(m+8)(2−m)≤180(2−m)24(2m + 1)^2 - 4(m + 8)(2 - m) \le 180(2 - m)^2

  7. Porządkujemy i dzielimy obie strony przez −20-20⁠, zmieniając zwrot nierówności.

    −160m2+760m−780≤0  ⇔  8m2−38m+39≥0-160m^2 + 760m - 780 \le 0 \;\Leftrightarrow\; 8m^2 - 38m + 39 \ge 0

  8. Obliczamy pierwiastki trójmianu 8m2−38m+398m^2 - 38m + 39⁠.

    Δm=382−4⋅8⋅39=196,m1=38−1416=32,m2=38+1416=134\Delta_m = 38^2 - 4 \cdot 8 \cdot 39 = 196, \qquad m_1 = \dfrac{38 - 14}{16} = \dfrac{3}{2}, \qquad m_2 = \dfrac{38 + 14}{16} = \dfrac{13}{4}

  9. Ramiona paraboli są skierowane w górę, więc nierówność spełniają liczby spoza przedziału między pierwiastkami.

    m∈(−∞,32]∪[134,+∞)m \in \left(-\infty, \dfrac{3}{2}\right] \cup \left[\dfrac{13}{4}, +\infty\right)

    Do tego miejsca · Etap III: 3 pkt

  10. Bierzemy część wspólną wszystkich warunków, także m≠2m \ne 2⁠.

    m∈(−8,−3)∪(1,32]m \in (-8, -3) \cup \left(1, \dfrac{3}{2}\right]

    Do tego miejsca · Etap IV: 1 pkt

Odpowiedź

m∈(−8,−3)∪(1,32]m \in (-8, -3) \cup \left(1, \frac{3}{2}\right]

Jak to jest punktowane

W każdym etapie liczy się najwyższy poziom, który rozwiązanie spełnia; punkty za etapy się sumują.

Etap I

Rozwiązanie zadania składa się z czterech etapów.Pierwszy etap polega na rozwiązaniu nierówności Δ>0\Delta > 0⁠. Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.

  • 1 pktpoprawne rozwiązanie nierówności Δ>0\Delta > 0⁠: m∈(−∞,−3)∪(1,+∞)m \in (-\infty, -3) \cup (1, +\infty)⁠.

Etap II

Drugi etap polega na wyznaczeniu tych wartości parametru mm⁠, dla których miejsca zerowe funkcji ff są tego samego znaku. Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.

  • 1 pktzapisanie i poprawne rozwiązanie nierówności m+82−m>0\frac{m + 8}{2 - m} > 0⁠: m∈(−8,2)m \in (-8, 2)⁠.

Etap III

Trzeci etap polega na wyznaczeniu tych wartości parametru mm⁠, dla których jest spełniony warunek (x1−x2)2≤180(x_1 - x_2)^2 \le 180⁠. Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 3 punkty.Podział punktów za trzeci etap rozwiązania:

  • 3 pktrozwiązanie nierówności z jedną niewiadomą mm równoważnej warunkowi (x1−x2)2≤180(x_1 - x_2)^2 \le 180⁠: m∈(−∞,32]∪[134,+∞)m \in \left(-\infty, \frac{3}{2}\right] \cup \left[\frac{13}{4}, +\infty\right)⁠.
  • 2 pktzapisanie nierówności z jedną niewiadomą mm równoważnej warunkowi (x1−x2)2≤180(x_1 - x_2)^2 \le 180⁠, np.[2(2m+1)2−m]2−4⋅m+82−m≤180\left[\frac{2(2m + 1)}{2 - m}\right]^2 - 4 \cdot \frac{m + 8}{2 - m} \le 180
  • 1 pktprzekształcenie nierówności (x1−x2)2≤180(x_1 - x_2)^2 \le 180 do postaci pozwalającej na bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a, np. (x1+x2)2−4x1x2≤180(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 \le 180ALBO– przekształcenie nierówności (x1−x2)2≤180(x_1 - x_2)^2 \le 180 do postaci Δa2≤180\frac{\Delta}{a^2} \le 180 (lub b2−4aca2≤180\frac{b^2 - 4ac}{a^2} \le 180⁠).

Etap IV

Czwarty etap polega na wyznaczeniu wszystkich wartości parametru mm⁠, które spełniają jednocześnie warunki: m≠2m \ne 2 oraz m∈(−∞,−3)∪(1,+∞)m \in (-\infty, -3) \cup (1, +\infty) oraz m∈(−8,2)m \in (-8, 2) oraz m∈(−∞,32]∪[134,+∞)m \in \left(-\infty, \frac{3}{2}\right] \cup \left[\frac{13}{4}, +\infty\right)⁠:m∈(−8,−3)∪(1,32]m \in (-8, -3) \cup \left(1, \frac{3}{2}\right]⁠.Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.

  • 1 pktpoprawne wyznaczenie wszystkich wartości parametru mm⁠, które spełniają jednocześnie warunki m≠2m \ne 2 oraz m∈(−∞,−3)∪(1,+∞)m \in (-\infty, -3) \cup (1, +\infty) oraz m∈(−8,2)m \in (-8, 2) oraz m∈(−∞,32]∪[134,+∞)m \in \left(-\infty, \frac{3}{2}\right] \cup \left[\frac{13}{4}, +\infty\right)⁠: m∈(−8,−3)∪(1,32]m \in (-8, -3) \cup \left(1, \frac{3}{2}\right]⁠.

Łącznie 6 pkt

Uwagi z zasad oceniania CKE

  • Jeżeli zdający rozwiązuje warunek Δ≥0\Delta \ge 0⁠, to za tę część rozwiązania otrzymuje 0 punktów.
  • 1. Jeżeli zdający w którymś z etapów I–III popełni błąd, który nie jest błędem rachunkowym, to za IV etap otrzymuje 0 punktów.
  • 2. Jeżeli zdający w etapach I–III nie popełni błędów innych niż rachunkowe i otrzyma zbiory rozwiązań, które nie są rozłączne i żaden z nich nie jest zbiorem liczb rzeczywistych, a następnie poprawnie wyznaczy część wspólną zbiorów rozwiązań z etapów I–III i warunku m≠2m \ne 2⁠, to za IV etap otrzymuje 1 punkt; natomiast jeżeli otrzyma zbiory rozwiązań, które są rozłączne lub co najmniej jeden z nich jest zbiorem liczb rzeczywistych, to za IV etap otrzymuje 0 punktów.
  • 3. Jeżeli zdający w III etapie rozwiązania popełni błąd – przyjmie, że x1+x2=±m+82−mx_1 + x_2 = \pm\frac{m + 8}{2 - m} lub x1⋅x2=±2(2m+1)2−mx_1 \cdot x_2 = \pm\frac{2(2m + 1)}{2 - m}⁠, lub x1+x2=±b2ax_1 + x_2 = \pm\frac{b}{2a}⁠, to za III etap może otrzymać co najwyżej 2 punkty (1 punkt za przekształcenie nierówności (x1−x2)2≤180(x_1 - x_2)^2 \le 180 do postaci pozwalającej na bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a oraz 1 punkt za konsekwentne rozwiązanie nierówności do końca), a za IV etap otrzymuje 0 punktów.
  • 4. Jeżeli zdający wprowadza dodatkowe założenie, które nie wynika z warunków zadania (np. x1+x2>0x_1 + x_2 > 0⁠), to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 5 punktów (co najwyżej 1 punkt za I etap, co najwyżej 1 punkt za II etap i co najwyżej 3 punkty za III etap).
  • 5. Jeżeli zdający podczas przekształcania nierówności (x1−x2)2≤180(x_1 - x_2)^2 \le 180 do postaci pozwalającej na zastosowanie wzorów Viète’a popełni błąd, który nie jest błędem rachunkowym, ale otrzyma nierówność postaci (x1+x2)2+k⋅x1⋅x2≤180(x_1 + x_2)^2 + k \cdot x_1 \cdot x_2 \le 180⁠, gdzie k≠−4k \ne -4⁠, to za III etap może otrzymać co najwyżej 2 punkty (1 punkt za poprawne zastosowanie wzorów Viète’a oraz 1 punkt za konsekwentne rozwiązanie nierówności do końca), a za IV etap otrzymuje 0 punktów.

Chcesz rozwiązywać to zadanie z podpowiedziami? Zapisz się na listę oczekujących

Źródło: CKE, matura maj 2025, poziom rozszerzony, zadanie 11