Zadanie 7 · 4 pkt · dowód

Stosunek podstaw trapezu z pól dwóch części

W trapezie $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ punkt $E$ jest środkiem ramienia $AD$ ⁠, a punkt $F$ jest środkiem ramienia $BC$ trapezu. Stosunek pola trapezu $EFCD$ do pola trapezu $ABFE$ jest równy $\frac{1}{2}$ ⁠.

Wykaż, że $\frac{|CD|}{|AB|} = \frac{1}{5}$ ⁠.

Pokaż odpowiedź i rozwiązanieSpróbuj najpierw sam(a), potem sprawdź.

Rozwiązanie krok po kroku

Oznaczamy $a = |AB|$ ⁠, $b = |CD|$ ⁠, $d = |EF|$ i wysokość trapezu $h$ ⁠; odcinek łączący środki ramion trapezu jest równoległy do podstaw, a jego długość jest średnią arytmetyczną długości podstaw.
$d = \dfrac{a + b}{2}$
Do tego miejsca: 1 pkt
Trapezy $EFCD$ i $ABFE$ mają wysokość $\frac{h}{2}$ ⁠, więc zapisujemy stosunek ich pól i warunek z treści zadania.
$\dfrac{P_{EFCD}}{P_{ABFE}} = \dfrac{\frac{1}{2} \cdot (d + b) \cdot \frac{h}{2}}{\frac{1}{2} \cdot (a + d) \cdot \frac{h}{2}} = \dfrac{1}{2}$
Do tego miejsca: 2 pkt
Podstawiamy $d = \frac{a + b}{2}$ i otrzymujemy związek między długościami podstaw trapezu.
$\dfrac{\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{a + b}{2} + b\right)}{\frac{1}{2} \cdot \left(a + \frac{a + b}{2}\right)} = \dfrac{1}{2}$
Do tego miejsca: 3 pkt
Upraszczamy ułamek (mnożymy licznik i mianownik przez $4$ ⁠) i rozwiązujemy proporcję.
$\dfrac{a + 3b}{3a + b} = \dfrac{1}{2} \;\Rightarrow\; 2a + 6b = 3a + b \;\Rightarrow\; a = 5b$
Obliczamy szukany stosunek długości podstaw.
$\dfrac{|CD|}{|AB|} = \dfrac{b}{a} = \dfrac{b}{5b} = \dfrac{1}{5}$
Do tego miejsca: 4 pkt

Odpowiedź

$\frac{|CD|}{|AB|} = \frac{1}{5}$ ⁠, co należało wykazać.

Jak to jest punktowane

Za rozwiązanie jest jeden poziom — najwyższy, który spełnia.

4 pktZasady oceniania (dla sposobów I oraz Ia)poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.Zasady oceniania (dla sposobu II)poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.
3 pktZasady oceniania (dla sposobów I oraz Ia)zapisanie związku między długościami podstaw trapezu, np. $\frac{\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{a + b}{2} + b\right)}{\frac{1}{2} \cdot \left(a + \frac{a + b}{2}\right)} = \frac{1}{2}$ ⁠.Zasady oceniania (dla sposobu II)wyznaczenie stosunku pól trójkątów $AKE$ i $KFC$ ⁠: $1 : 5$ ⁠.
2 pktZasady oceniania (dla sposobów I oraz Ia)zapisanie równań $\frac{P_{EFCD}}{P_{ABFE}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (d + b) \cdot \frac{h}{2}}{\frac{1}{2} \cdot (a + d) \cdot \frac{h}{2}}$ oraz $\frac{P_{EFCD}}{P_{ABFE}} = \frac{1}{2}$ oraz $d = \frac{a + b}{2}$ ALBO– spełnienie dwóch spośród czterech poniższych warunków:1) zapisanie równań $\frac{P_{EFCD}}{P_{ABFE}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (d + b) \cdot \frac{h}{2}}{\frac{1}{2} \cdot (a + d) \cdot \frac{h}{2}}$ albo $\frac{\frac{1}{2} \cdot (d + b) \cdot \frac{h}{2}}{\frac{1}{2} \cdot (a + d) \cdot \frac{h}{2}} = \frac{1}{2}$ ⁠,2) zapisanie równań $\frac{P_{EFCD}}{P_{ABCD}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (d + b) \cdot \frac{h}{2}}{\frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h}$ albo $\frac{\frac{1}{2} \cdot (d + b) \cdot \frac{h}{2}}{\frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h} = \frac{1}{3}$ ⁠,3) zapisanie równań $\frac{P_{ABFE}}{P_{ABCD}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (a + d) \cdot \frac{h}{2}}{\frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h}$ albo $\frac{\frac{1}{2} \cdot (a + d) \cdot \frac{h}{2}}{\frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h} = \frac{2}{3}$ ⁠,4) zapisanie równania $\frac{1}{2} \cdot (a + d) \cdot \frac{h}{2} + \frac{1}{2} \cdot (b + d) \cdot \frac{h}{2} = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h$ ⁠.Zasady oceniania (dla sposobu II)zapisanie pól trapezów $EFCD$ i $ABFE$ w zależności od pól trójkątów $AKE$ i $KFC$ ⁠.
1 pktZasady oceniania (dla sposobów I oraz Ia)spełnienie jednego spośród czterech poniższych warunków:1) zapisanie równań $\frac{P_{EFCD}}{P_{ABFE}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (d + b) \cdot \frac{h}{2}}{\frac{1}{2} \cdot (a + d) \cdot \frac{h}{2}}$ albo $\frac{\frac{1}{2} \cdot (d + b) \cdot \frac{h}{2}}{\frac{1}{2} \cdot (a + d) \cdot \frac{h}{2}} = \frac{1}{2}$ ⁠,2) zapisanie równań $\frac{P_{EFCD}}{P_{ABCD}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (d + b) \cdot \frac{h}{2}}{\frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h}$ albo $\frac{\frac{1}{2} \cdot (d + b) \cdot \frac{h}{2}}{\frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h} = \frac{1}{3}$ ⁠,3) zapisanie równań $\frac{P_{ABFE}}{P_{ABCD}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (a + d) \cdot \frac{h}{2}}{\frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h}$ albo $\frac{\frac{1}{2} \cdot (a + d) \cdot \frac{h}{2}}{\frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h} = \frac{2}{3}$ ⁠,4) zapisanie równania $\frac{1}{2} \cdot (a + d) \cdot \frac{h}{2} + \frac{1}{2} \cdot (b + d) \cdot \frac{h}{2} = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h$ ⁠,ALBO– zapisanie równania $d = \frac{a + b}{2}$ ⁠.Zasady oceniania (dla sposobu II)zapisanie zależności pomiędzy polami trójkątów podobnych $ACD$ i $AKE$ oraz zapisanie zależności pomiędzy polami trójkątów podobnych $ABC$ i $KFC$ ⁠.

Uznawane są też inne sposoby rozwiązania

Drugi związek z pola całego trapezu: z $\frac{d + b}{a + d} = \frac{1}{2}$ mamy $d = a - 2b$ ⁠, a z $\frac{P_{EFCD}}{P_{ABCD}} = \frac{1}{3}$ mamy $3d = 2a - b$ ⁠; stąd $3(a - 2b) = 2a - b$ ⁠, czyli $a = 5b$ ⁠.
Pola trójkątów podobnych: przekątna $AC$ przecina $EF$ w punkcie $K$ ⁠; dla $n = P_{AKE}$ i $m = P_{KFC}$ z podobieństw w skali $2$ mamy $P_{ACD} = 4n$ ⁠, $P_{ABC} = 4m$ ⁠, więc $P_{EFCD} = 3n + m$ i $P_{ABFE} = n + 3m$ ⁠; z $\frac{3n + m}{n + 3m} = \frac{1}{2}$ dostajemy $m = 5n$ ⁠, a $\frac{b}{a} = \frac{n}{m} = \frac{1}{5}$ ⁠.

Uwagi z zasad oceniania CKE

1. Jeżeli w rozwiązaniu zdający błędnie zakłada, że trapezy $ABFE$ i $EFCD$ są podobne i na tym opiera rozwiązanie, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za zapisanie związku między długościami podstaw trapezu i odcinka łączącego środki jego ramion.
2. Jeżeli zdający rozpatruje trapez o konkretnych wymiarach i na tym opiera całe rozwiązanie, to otrzymuje 0 punktów, o ile nie nabył prawa do innej punktacji zgodnej z zasadami oceniania.
3. Jeżeli zdający zapisze jednocześnie $\frac{P_{EFCD}}{P_{ABFE}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{a + b}{2} + b\right)}{\frac{1}{2} \cdot \left(a + \frac{a + b}{2}\right)}$ oraz $\frac{P_{EFCD}}{P_{ABFE}} = \frac{1}{2}$ ⁠, to może otrzymać 3 punkty.

Chcesz rozwiązywać to zadanie z podpowiedziami? Zapisz się na listę oczekujących

Źródło: CKE, matura maj 2025, poziom rozszerzony, zadanie 7