Oblicz granicę n → +∞ n + 2n - 11/2n³ - 4n + 7 Zapisz obliczenia.

Zadanie 1 · 2 pkt · otwarte

Granica ilorazu z symbolem Newtona

Oblicz granicę $\lim\limits_{n \to +\infty} \frac{\binom{n + 2}{n - 1}}{\frac{1}{2}n^3 - 4n + 7}$ Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź i rozwiązanieSpróbuj najpierw sam(a), potem sprawdź.

Zapisujemy symbol Newtona za pomocą silni, korzystając z $(n + 2) - (n - 1) = 3$ ⁠, i skracamy $(n - 1)!$ ⁠.
$\binom{n + 2}{n - 1} = \dfrac{(n + 2)!}{(n - 1)! \cdot 3!} = \dfrac{(n - 1)! \cdot n(n + 1)(n + 2)}{3! \cdot (n - 1)!} = \dfrac{n(n + 1)(n + 2)}{6}$
Do tego miejsca: 1 pkt
Wymnażamy licznik i wyłączamy $n^3$ przed nawias w liczniku i w mianowniku.
$\dfrac{\frac{n(n + 1)(n + 2)}{6}}{\frac{1}{2}n^3 - 4n + 7} = \dfrac{n^3 + 3n^2 + 2n}{6\left(\frac{1}{2}n^3 - 4n + 7\right)} = \dfrac{n^3\left(1 + \frac{3}{n} + \frac{2}{n^2}\right)}{6n^3\left(\frac{1}{2} - \frac{4}{n^2} + \frac{7}{n^3}\right)}$
Ciągi $\frac{3}{n}$ ⁠, $\frac{2}{n^2}$ ⁠, $\frac{4}{n^2}$ i $\frac{7}{n^3}$ dążą do zera, więc z twierdzeń o granicy sumy i ilorazu obliczamy granicę.
$\lim_{n \to +\infty} \dfrac{1 + \frac{3}{n} + \frac{2}{n^2}}{6\left(\frac{1}{2} - \frac{4}{n^2} + \frac{7}{n^3}\right)} = \dfrac{1}{6 \cdot \frac{1}{2}} = \dfrac{1}{3}$
Do tego miejsca: 2 pkt

Odpowiedź

$\frac{1}{3}$

Za rozwiązanie jest jeden poziom — najwyższy, który spełnia.

2 pktzastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: $\frac{1}{3}$ ⁠.
1 pktzapisanie wyrażenia $\binom{n + 2}{n - 1}$ w postaci $\frac{(n - 1)!\, n(n + 1)(n + 2)}{[n + 2 - (n - 1)]!\, (n - 1)!}$ lub w postaci $\frac{n(n + 1)(n + 2)}{6}$ ⁠.

Jeżeli zdający zapisze symbol Newtona $\binom{n + 2}{n - 1}$ błędnie jako $\frac{n(n + 1)(n + 2)}{3}$ lub $n(n + 1)(n + 2)$ ⁠, lub popełni błąd rachunkowy, ale otrzyma iloraz wielomianów stopnia trzeciego i konsekwentnie do popełnionego błędu obliczy granicę, to otrzymuje 1 punkt.

Źródło: CKE, matura maj 2026, poziom rozszerzony, zadanie 1