Kąt między ścianami bocznymi ostrosłupa prawidłowego trójkątnego

Jak to jest punktowane

Za rozwiązanie jest jeden poziom — najwyższy, który spełnia.

• 4 pktzastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: $a = 3\sqrt{6}$ oraz $\cos\beta = \frac{5}{14}$⁠.
• 3 pktobliczenie wysokości $x$ ściany bocznej opuszczonej na krawędź boczną ostrosłupa: $x = \sqrt{42}$ALBO– obliczenie $\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)$⁠: $\sin\left(\frac{\beta}{2}\right) = \frac{3}{2\sqrt{7}}$⁠,ALBO– obliczenie długości krawędzi podstawy: $a = 3\sqrt{6}$ oraz zapisanie zależności między funkcjami trygonometrycznymi kątów $\alpha$ i $\beta$⁠, np.$1 = 2\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cdot (1 - \cos\beta)$⁠, $1 = \sin^2\alpha \cdot \frac{1 - \cos\beta}{1 - \cos\alpha}$⁠,ALBO– obliczenie cosinusa kąta $\beta$⁠: $\cos\beta = \frac{5}{14}$⁠.
• 2 pktobliczenie długości krawędzi podstawy ostrosłupa oraz $\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)$⁠: $a = 3\sqrt{6}$ oraz $\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\sqrt{7}}{3}$ALBO– zapisanie związków $\frac{x}{a} = \frac{\sqrt{7}}{3}$ oraz $\sin\left(\frac{\beta}{2}\right) = \frac{|EB|}{x}$⁠,ALBO– obliczenie długości (lub kwadratu długości) $b$ krawędzi bocznej ostrosłupa: $b = \frac{9\sqrt{3}}{2}$ (lub $b^2 = \frac{243}{4}$⁠),ALBO– zapisanie zależności między długością krawędzi bocznej ostrosłupa i wysokością ściany bocznej opuszczoną na krawędź boczną ostrosłupa, np.: $\frac{x}{b} = \frac{2\sqrt{14}}{9}$⁠, $\frac{1}{2} \cdot b^2 \cdot \frac{2\sqrt{14}}{9} = \frac{1}{2}b \cdot x$⁠, $\left(\frac{5}{9}b\right)^2 + x^2 = b^2$⁠,ALBO– zapisanie zależności między funkcjami trygonometrycznymi kątów $\alpha$ i $\beta$⁠, np. $1 = 2\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cdot (1 - \cos\beta)$⁠, $1 = \sin^2\alpha \cdot \frac{1 - \cos\beta}{1 - \cos\alpha}$⁠.
• 1 pktobliczenie długości $a$ krawędzi podstawy ostrosłupa: $a = 3\sqrt{6}$ALBO– obliczenie $\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)$ : $\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\sqrt{7}}{3}$⁠,ALBO– obliczenie $\sin\alpha$⁠: $\sin\alpha = \frac{2\sqrt{14}}{9}$⁠,ALBO– zastosowanie twierdzenia cosinusów do trójkąta $ABD$ i zapisanie równania$a^2 = x^2 + x^2 - 2x^2\cos\beta$ALBO– zastosowanie twierdzenia cosinusów do trójkąta $BCS$ i zapisanie równania$a^2 = b^2 + b^2 - 2b^2\cos\alpha$ALBO– zapisanie zależności między $a$⁠, $x$ oraz $\alpha$⁠, np. $\sin\left(90^\circ - \frac{\alpha}{2}\right) = \frac{x}{a}$⁠, $\cos\frac{\alpha}{2} = \frac{x}{a}$⁠,ALBO– zapisanie zależności między $b$⁠, $x$ oraz $\alpha$⁠, np. $\sin\alpha = \frac{x}{b}$⁠.

Uznawane są też inne sposoby rozwiązania

• Bez krawędzi bocznej: z $\cos\alpha = 2\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right) - 1$ mamy $\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\sqrt{7}}{3}$⁠; kąt $CBD$ ma miarę $\frac{\alpha}{2}$⁠, więc $x = a\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \sqrt{42}$⁠, a dalej twierdzenie cosinusów w trójkącie $ABD$⁠.
• Przez $\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)$ — dla środka $E$ krawędzi $AB$ jest $\frac{|EB|}{x} = \sin\left(\frac{\beta}{2}\right)$ i $\frac{x}{a} = \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)$⁠, więc $\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{7}}{3}\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)$⁠, $\sin\left(\frac{\beta}{2}\right) = \frac{3}{2\sqrt{7}}$ i $\cos\beta = 1 - 2\sin^2\left(\frac{\beta}{2}\right) = \frac{5}{14}$⁠.
• Ogólna zależność: z $a^2 = 2x^2(1 - \cos\beta)$⁠, $x = b\sin\alpha$ i $a^2 = 2b^2(1 - \cos\alpha)$ wynika $1 - \cos\beta = \frac{1 - \cos\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{1}{1 + \cos\alpha}$⁠, czyli $\cos\beta = \frac{\cos\alpha}{1 + \cos\alpha} = \frac{5}{14}$⁠.

Uwagi z zasad oceniania CKE

• 1. Jeżeli zdający poprawnie zinterpretuje kąt między krawędziami bocznymi ostrosłupa i zastosuje twierdzenie cosinusów do ściany bocznej – pomimo błędnie obliczonej długości krawędzi podstawy lub długości krawędzi bocznej – to traktujemy to jak spełnienie kryterium z myślnika piątego z kategorii za 1 punkt.
• 2. Jeżeli zdający poprawnie zinterpretuje kąt między ścianami bocznymi ostrosłupa i zastosuje twierdzenie cosinusów do trójkąta z tym kątem – pomimo błędnie obliczonej długości krawędzi podstawy lub wysokości ściany bocznej poprowadzonej z wierzchołka podstawy ostrosłupa – to traktujemy to jak spełnienie kryterium z myślnika czwartego z kategorii za 1 punkt.
• 3. Jeżeli zdający błędnie interpretuje kąt między krawędziami bocznymi ostrosłupa, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.
• 4. Jeżeli zdający rozpatruje inną bryłę niż ostrosłup prawidłowy trójkątny, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.