Kwietnik o najmniejszym polu

Jak to jest punktowane

Za rozwiązanie jest jeden poziom — najwyższy, który spełnia.

• 4 pktuzasadnienie, że funkcja $P$ przyjmuje wartość najmniejszą dla $x = 4\sqrt{3}$ $(m)$⁠, oraz obliczenie pola trójkątnego klombu o takiej podstawie: $P(4\sqrt{3}) = 12\sqrt{3}$ $(m^2)$⁠.
• 3 pktuzasadnienie (np. poprzez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja $P$ przyjmuje wartość najmniejszą dla $x = 4\sqrt{3}$⁠.
• 2 pktobliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji $P$⁠: $x = 4\sqrt{3}$⁠.
• 1 pktwyznaczenie pochodnej funkcji $P$⁠, np. $P'(x) = \frac{6x^2 \cdot (x^2 - 16) - 2x^3 \cdot 2x}{(x^2 - 16)^2}$⁠.

Uznawane są też inne sposoby rozwiązania

• Bez badania znaku pochodnej: funkcja $P$ jest ciągła w $(4, 10]$⁠, $\lim\limits_{x \to 4^+} P(x) = +\infty$⁠, $\lim\limits_{x \to 10^-} P(x) = \frac{500}{21}$⁠, a jedynym punktem, w którym pochodna się zeruje, jest $x = 4\sqrt{3}$ z wartością $P(4\sqrt{3}) = 12\sqrt{3}$ — stąd wniosek, że jest to wartość najmniejsza.

Uwagi z zasad oceniania CKE

• 1. Jeżeli zdający wyznacza pochodną ilorazu jako iloraz pochodnych, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
• 2. a) Jeżeli z rozwiązania wynika, że zdający poprawnie stosuje wzór na pochodną ilorazu funkcji oraz zdający poprawnie wyznacza pochodne funkcji $2x^3$ oraz $x^2 - 16$ i dalej popełnia błędy, otrzymując pochodną w postaci $\frac{6x^2 \cdot (x^2 - 16) - 2x^3 \cdot 2x}{(x^2 - 16)}$ lub $\frac{B(x)}{(x^2 - 16)^2}$⁠, gdzie $B$ jest wielomianem stopnia czwartego, który w przedziale $(4, 10]$ ma dokładnie jeden pierwiastek, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (za miejsce zerowe pochodnej, za uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości funkcji, za obliczenie najmniejszej wartości funkcji $P$⁠).
• b) Jeżeli z rozwiązania nie wynika, że zdający poprawnie stosuje wzór na pochodną ilorazu funkcji lub zdający błędnie wyznacza pochodną funkcji $2x^3$ lub $x^2 - 16$ i dalej popełnia błędy, otrzymując pochodną w postaci $\frac{6x^2 \cdot (x^2 - 16) - 2x^3 \cdot 2x}{(x^2 - 16)}$ lub $\frac{B(x)}{(x^2 - 16)^2}$⁠, gdzie $B$ jest wielomianem stopnia czwartego, który w przedziale $(4, 10]$ ma dokładnie jeden pierwiastek, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości funkcji i za obliczenie najmniejszej wartości funkcji $P$⁠).
• 3. Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja osiąga wartość najmniejszą dla wyznaczonej wartości $x$⁠, przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuację, gdy zdający bada znak pochodnejORAZ:– opisuje (słownie lub graficznie – np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji $P$LUB– zapisuje, że dla wyznaczonej wartości $x$ funkcja $P$ ma minimum lokalne i jest to jednocześnie jej najmniejsza wartość,LUB– zapisuje, że dla wyznaczonej wartości $x$ funkcja $P$ ma minimum lokalne i jest to jedyne ekstremum tej funkcji.Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak, i zaznaczając na rysunku (np. znakami „+” i „−”) znak pochodnej.
• 4. Jeżeli zdający przedstawi niepełne uzasadnienie, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (nie otrzymuje punktu za uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości).
• 5. Jeżeli zdający, uzasadniając najmniejszą wartość funkcji, rozpatruje funkcję w $\mathbb{R}$ lub $\mathbb{R}_+$⁠, lub w $(4, +\infty)$⁠, lub w $(0, 10]$⁠, to może uzyskać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.
• 6. Jeżeli zdający nie uzasadnia istnienia najmniejszej wartości funkcji, to może uzyskać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za pochodną i 1 punkt za miejsce zerowe pochodnej).