Zadanie 9 · 5 pkt · otwarte

Okrąg o środku w punkcie M na ramieniu trójkąta

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y)(x, y) punkty A=(1,−1)A = (1, -1) oraz B=(4,0)B = (4, 0) są wierzchołkami trójkąta ABCABC⁠, w którym ∣CA∣=∣CB∣|CA| = |CB|⁠. Jedno z ramion trójkąta ABCABC zawiera się w prostej o równaniu x+2y−4=0x + 2y - 4 = 0⁠. Na boku ACAC tego trójkąta obrano taki punkt MM⁠, że ∣AM∣:∣MC∣=1:4|AM| : |MC| = 1 : 4⁠.

Wyznacz równanie okręgu, który ma środek w punkcie MM i przechodzi przez punkt CC⁠. Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź i rozwiązanieSpróbuj najpierw sam(a), potem sprawdź.

Rozwiązanie krok po kroku

  1. Punkt AA nie leży na prostej x+2y−4=0x + 2y - 4 = 0⁠, bo 1−2−4≠01 - 2 - 4 \ne 0⁠, a punkt BB leży, bo 4+0−4=04 + 0 - 4 = 0⁠. W tej prostej zawiera się więc ramię BCBC⁠, czyli CC leży na tej prostej.

    C=(xC,−12xC+2)C = \left(x_C, -\dfrac{1}{2}x_C + 2\right)

    Do tego miejsca: 1 pkt

  2. Z warunku ∣CA∣=∣CB∣|CA| = |CB| zapisujemy ∣CA∣2=∣CB∣2|CA|^2 = |CB|^2 i upraszczamy.

    (1−xC)2+(−1−yC)2=(4−xC)2+(0−yC)2  ⇔  6xC+2yC−14=0(1 - x_C)^2 + (-1 - y_C)^2 = (4 - x_C)^2 + (0 - y_C)^2 \;\Leftrightarrow\; 6x_C + 2y_C - 14 = 0

  3. Podstawiamy yC=−12xC+2y_C = -\frac{1}{2}x_C + 2 i otrzymujemy równanie z jedną niewiadomą.

    6xC+2⋅(−12xC+2)−14=06x_C + 2 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}x_C + 2\right) - 14 = 0

    Do tego miejsca: 2 pkt

  4. Rozwiązujemy równanie i obliczamy drugą współrzędną punktu CC⁠.

    5xC−10=0  ⇒  xC=2,  yC=1,C=(2,1)5x_C - 10 = 0 \;\Rightarrow\; x_C = 2, \; y_C = 1, \qquad C = (2, 1)

    Do tego miejsca: 3 pkt

  5. Punkt MM leży na boku ACAC i ∣AM∣:∣MC∣=1:4|AM| : |MC| = 1 : 4⁠, więc AM→=15AC→\overrightarrow{AM} = \frac{1}{5}\overrightarrow{AC}⁠.

    [xM−1,yM+1]=15⋅[1,2]  ⇒  M=(65,−35)[x_M - 1, y_M + 1] = \dfrac{1}{5} \cdot [1, 2] \;\Rightarrow\; M = \left(\dfrac{6}{5}, -\dfrac{3}{5}\right)

    Do tego miejsca: 4 pkt

  6. Promieniem okręgu jest odcinek MCMC⁠; obliczamy kwadrat jego długości.

    ∣MC∣2=(2−65)2+(1+35)2=1625+6425=165|MC|^2 = \left(2 - \dfrac{6}{5}\right)^2 + \left(1 + \dfrac{3}{5}\right)^2 = \dfrac{16}{25} + \dfrac{64}{25} = \dfrac{16}{5}

  7. Zapisujemy równanie okręgu o środku MM i promieniu ∣MC∣|MC|⁠.

    (x−65)2+(y+35)2=165\left(x - \dfrac{6}{5}\right)^2 + \left(y + \dfrac{3}{5}\right)^2 = \dfrac{16}{5}

    Do tego miejsca: 5 pkt

Odpowiedź

(x−65)2+(y+35)2=165\left(x - \frac{6}{5}\right)^2 + \left(y + \frac{3}{5}\right)^2 = \frac{16}{5}

Jak to jest punktowane

Za rozwiązanie jest jeden poziom — najwyższy, który spełnia.

  • 5 pktZasady oceniania (dla sposobu I)zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: (x−65)2+(y+35)2=165\left(x - \frac{6}{5}\right)^2 + \left(y + \frac{3}{5}\right)^2 = \frac{16}{5}⁠.Zasady oceniania (dla sposobu II)zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: (x−65)2+(y+35)2=165\left(x - \frac{6}{5}\right)^2 + \left(y + \frac{3}{5}\right)^2 = \frac{16}{5}⁠.
  • 4 pktZasady oceniania (dla sposobu I)obliczenie współrzędnych punktów CC oraz MM⁠: C=(2,1)C = (2, 1) oraz M=(65,−35)M = \left(\frac{6}{5}, -\frac{3}{5}\right)ALBO– obliczenie współrzędnych punktu CC oraz długości odcinka MCMC⁠: C=(2,1)C = (2, 1)oraz ∣MC∣=45|MC| = \frac{4}{\sqrt{5}}⁠.Zasady oceniania (dla sposobu II)obliczenie współrzędnych punktu MM oraz współrzędnych wektora AM→\overrightarrow{AM} (lub współrzędnych wektora MC→\overrightarrow{MC}⁠): M=(65,−35)M = \left(\frac{6}{5}, -\frac{3}{5}\right) oraz AM→=[15,25]\overrightarrow{AM} = \left[\frac{1}{5}, \frac{2}{5}\right] (lub MC→=[45,85]\overrightarrow{MC} = \left[\frac{4}{5}, \frac{8}{5}\right]⁠).
  • 3 pktZasady oceniania (dla sposobu I)obliczenie współrzędnych punktu CC⁠: C=(2,1)C = (2, 1)ALBO– zapisanie równania z jedną niewiadomą (pierwszą lub drugą współrzędną punktu CC⁠), oraz wyznaczenie współrzędnych punktu MM w zależności od współrzędnych punktów AA oraz CC⁠, np. 6xC+2⋅(−12xC+2)−14=06x_C + 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}x_C + 2\right) - 14 = 0 orazxM=15(xC−xA)+xAx_M = \frac{1}{5}(x_C - x_A) + x_A oraz yM=15(yC−yA)+yAy_M = \frac{1}{5}(y_C - y_A) + y_A⁠.Zasady oceniania (dla sposobu II)obliczenie współrzędnych punktu DD oraz wyznaczenie równania prostej MEME⁠: D=(1310,−910)D = \left(\frac{13}{10}, -\frac{9}{10}\right) oraz np. y=−12(x−85)−45y = -\frac{1}{2}\left(x - \frac{8}{5}\right) - \frac{4}{5}ALBO– obliczenie współrzędnych punktu EE oraz wyznaczenie równania prostej MDMD⁠: E=(85,−45)E = \left(\frac{8}{5}, -\frac{4}{5}\right) oraz np. y=−3(x−1310)−910y = -3\left(x - \frac{13}{10}\right) - \frac{9}{10}⁠.
  • 2 pktZasady oceniania (dla sposobu I)zapisanie równania z jedną niewiadomą (pierwszą lub drugą współrzędną punktu CC⁠), np. 6xC+2⋅(−12xC+2)−14=06x_C + 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}x_C + 2\right) - 14 = 0⁠, 6(4−2yC)+2yC−14=06(4 - 2y_C) + 2y_C - 14 = 0ALBO– wyznaczenie równania stopnia pierwszego symetralnej boku ABAB trójkąta oraz wyznaczenie współrzędnych punktu MM w zależności od współrzędnych punktów AA oraz CC⁠, np.6x+2y−14=06x + 2y - 14 = 0 oraz xM=15(xC−xA)+xAx_M = \frac{1}{5}(x_C - x_A) + x_A oraz yM=15(yC−yA)+yAy_M = \frac{1}{5}(y_C - y_A) + y_A⁠.Zasady oceniania (dla sposobu II)obliczenie współrzędnych punktów DD oraz EE⁠: D=(1310,−910)D = \left(\frac{13}{10}, -\frac{9}{10}\right) orazE=(85,−45)E = \left(\frac{8}{5}, -\frac{4}{5}\right)ALBO– wyznaczenie równania prostej MDMD⁠, np. y=−3(x−1310)−910y = -3\left(x - \frac{13}{10}\right) - \frac{9}{10}⁠,ALBO– wyznaczenie równania prostej MEME⁠, np. y=−12(x−85)−45y = -\frac{1}{2}\left(x - \frac{8}{5}\right) - \frac{4}{5}⁠.
  • 1 pktZasady oceniania (dla sposobu I)wyznaczenie równania stopnia pierwszego symetralnej boku ABAB trójkąta, np. 6x+2y−14=06x + 2y - 14 = 0ALBO– zapisanie współrzędnych punktu CC w zależności od jednej zmiennej, np. C=(xC,−12xC+2)C = \left(x_C, -\frac{1}{2}x_C + 2\right)⁠,ALBO– wyznaczenie współrzędnych punktu MM w zależności od współrzędnych punktów AA oraz CC⁠, np. xM=15(xC−xA)+xAx_M = \frac{1}{5}(x_C - x_A) + x_A oraz yM=15(yC−yA)+yAy_M = \frac{1}{5}(y_C - y_A) + y_A⁠.Zasady oceniania (dla sposobu II)obliczenie współrzędnych punktu DD⁠: D=(1310,−910)D = \left(\frac{13}{10}, -\frac{9}{10}\right)ALBO– obliczenie współrzędnych punktu EE⁠: E=(85,−45)E = \left(\frac{8}{5}, -\frac{4}{5}\right)⁠.

Uznawane są też inne sposoby rozwiązania

  • Rzuty na prostą ABAB — punkt EE prostej ABAB⁠, dla którego ME∥BCME \parallel BC⁠, spełnia AE→=15AB→\overrightarrow{AE} = \frac{1}{5}\overrightarrow{AB} (twierdzenie Talesa), więc E=(85,−45)E = \left(\frac{8}{5}, -\frac{4}{5}\right)⁠, a prosta MEME ma równanie y=−12xy = -\frac{1}{2}x⁠; trójkąt AMEAME jest równoramienny, więc rzut DD punktu MM na prostą ABAB dzieli ABAB w stosunku 1:91 : 9⁠, D=(1310,−910)D = \left(\frac{13}{10}, -\frac{9}{10}\right)⁠, a prosta MDMD ma równanie y=−3x+3y = -3x + 3⁠. Z przecięcia prostych M=(65,−35)M = \left(\frac{6}{5}, -\frac{3}{5}\right) i MC→=4⋅AM→=[45,85]\overrightarrow{MC} = 4 \cdot \overrightarrow{AM} = \left[\frac{4}{5}, \frac{8}{5}\right]⁠, więc ∣MC∣2=165|MC|^2 = \frac{16}{5}⁠.

Uwagi z zasad oceniania CKE

  • 1. Jeżeli zdający zapisze współrzędne punktu C=(2,1)C = (2, 1) oraz uzasadni (np. rachunkowo), że ten punkt spełnia warunki zadania, to za tę część rozwiązania otrzymuje 3 punkty. Jeżeli zdający takiego uzasadnienia nie zapisze, to za tę część rozwiązania otrzymuje 0 punktów.
  • 2. a) Jeżeli zdający przyjmuje ∣AM∣:∣MC∣=4:1|AM| : |MC| = 4 : 1⁠, to może otrzymać co najwyżej 4 punkty za całe rozwiązanie.
  • b) Jeżeli zdający przyjmuje stosunek ∣AM∣:∣MC∣|AM| : |MC| inny niż 1:41 : 4 lub 4:14 : 1⁠, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.
  • 3. Jeżeli zdający przyjmie bez uzasadnienia, że prosta ACAC jest prostopadła do prostej BCBC⁠, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za zapisanie współrzędnych punktu CC w zależności od jednej zmiennej lub wyznaczenie/obliczenie współrzędnych punktu MM w zależności od współrzędnych punktów AA oraz CC⁠, oraz 1 punkt za konsekwentne rozwiązanie zadania do końca).

Chcesz rozwiązywać to zadanie z podpowiedziami? Zapisz się na listę oczekujących

Źródło: CKE, matura maj 2026, poziom rozszerzony, zadanie 9