Zadanie 6 · 4 pkt · otwarte

Suma wyrazów ciągu arytmetycznego od 1 do −2025

Dany jest ciąg arytmetyczny (an)(a_n) o skończonej liczbie wyrazów. Liczba wyrazów tego ciągu jest większa od 66⁠. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy 11⁠, a ostatni wyraz tego ciągu jest równy (−2025)(-2025)⁠. Drugi, trzeci i szósty wyraz tego ciągu tworzą – w podanej kolejności – ciąg geometryczny.

Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu (an)(a_n)⁠. Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź i rozwiązanieSpróbuj najpierw sam(a), potem sprawdź.

Rozwiązanie krok po kroku

  1. Niech rr będzie różnicą ciągu; wtedy a2=1+ra_2 = 1 + r⁠, a3=1+2ra_3 = 1 + 2r⁠, a6=1+5ra_6 = 1 + 5r⁠, a z własności ciągu geometrycznego (a3)2=a2⋅a6(a_3)^2 = a_2 \cdot a_6⁠.

    (1+2r)2=(1+r)(1+5r)(1 + 2r)^2 = (1 + r)(1 + 5r)

    Do tego miejsca: 1 pkt

  2. Porządkujemy równanie i rozwiązujemy je.

    1+4r+4r2=1+6r+5r2  ⇔  r2+2r=0  ⇔  r=0  ∨  r=−21 + 4r + 4r^2 = 1 + 6r + 5r^2 \;\Leftrightarrow\; r^2 + 2r = 0 \;\Leftrightarrow\; r = 0 \;\lor\; r = -2

    Do tego miejsca: 2 pkt

  3. Dla r=0r = 0 ciąg byłby stały, a jego pierwszy i ostatni wyraz są różne, więc r=−2r = -2⁠; wtedy ciąg (a2,a3,a6)=(−1,−3,−9)(a_2, a_3, a_6) = (-1, -3, -9) jest geometryczny.

    r=−2r = -2

  4. Liczbę nn wyrazów obliczamy ze wzoru na nn-ty wyraz ciągu arytmetycznego (n=1014n = 1014 jest większe od 66⁠).

    −2025=1+(n−1)⋅(−2)  ⇔  n−1=1013  ⇔  n=1014-2025 = 1 + (n - 1) \cdot (-2) \;\Leftrightarrow\; n - 1 = 1013 \;\Leftrightarrow\; n = 1014

    Do tego miejsca: 3 pkt

  5. Obliczamy sumę wszystkich wyrazów ciągu.

    S1014=1+(−2025)2⋅1014=−1012⋅1014=−1 026 168S_{1014} = \dfrac{1 + (-2025)}{2} \cdot 1014 = -1012 \cdot 1014 = -1\,026\,168

    Do tego miejsca: 4 pkt

Odpowiedź

S1014=−1 026 168S_{1014} = -1\,026\,168

Jak to jest punktowane

Za rozwiązanie jest jeden poziom — najwyższy, który spełnia.

  • 4 pktzastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: (−1 026 168)(-1\,026\,168)⁠.
  • 3 pktobliczenie liczby nn wyrazów ciągu arytmetycznego: n=1014n = 1014⁠.
  • 2 pktrozwiązanie równania z jedną niewiadomą rr⁠: r=0r = 0 oraz r=−2r = -2ALBO– obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego (an)(a_n) spełniającej warunki zadania: r=−2r = -2⁠,ALBO– rozwiązanie równania z jedną niewiadomą qq⁠: q=1q = 1 oraz q=3q = 3⁠,ALBO– obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego (a2,a3,a6)(a_2, a_3, a_6) spełniającego warunki zadania: q=3q = 3⁠,ALBO– obliczenie/zapisanie, że ciąg (a2,a3,a6)(a_2, a_3, a_6) nie jest stały i rozwiązanie równania z jedną niewiadomą a2a_2⁠: a2=−1a_2 = -1⁠,ALBO– zapisanie równania z jedną niewiadomą nn⁠, np.(1+2⋅−2026n−1)2=(1+−2026n−1)(1+5⋅−2026n−1)\left(1 + 2 \cdot \frac{-2026}{n - 1}\right)^2 = \left(1 + \frac{-2026}{n - 1}\right)\left(1 + 5 \cdot \frac{-2026}{n - 1}\right)
  • 1 pktzapisanie równania z jedną niewiadomą rr⁠, np. (1+2r)2=(1+r)(1+5r)(1 + 2r)^2 = (1 + r)(1 + 5r)ALBO– zapisanie równania z jedną niewiadomą qq⁠, np. 3q−3=q2−q3q - 3 = q^2 - q⁠,ALBO– zapisanie równania z jedną niewiadomą a2a_2⁠, np. a2=1+2a2a_2 = 1 + 2a_2 (dla sposobu III),ALBO– wyznaczenie różnicy ciągu (an)(a_n) w zależności od liczby nn wyrazów ciągu arytmetycznego (an)(a_n)⁠: r=−2026n−1r = \frac{-2026}{n - 1}⁠.

Uznawane są też inne sposoby rozwiązania

  • Niewiadoma qq⁠, iloraz ciągu (a2,a3,a6)(a_2, a_3, a_6) — z 3(a3−a2)=a6−a33(a_3 - a_2) = a_6 - a_3 wynika a2⋅(q2−4q+3)=0a_2 \cdot (q^2 - 4q + 3) = 0⁠; ciąg nie jest stały, więc q=3q = 3⁠, a z 1+3a22=a2\frac{1 + 3a_2}{2} = a_2 mamy a2=−1a_2 = -1 i r=−2r = -2⁠.
  • Niewiadoma a2a_2 — z (a2+r)2=a2⋅(a2+4r)(a_2 + r)^2 = a_2 \cdot (a_2 + 4r) wynika r(2a2−r)=0r(2a_2 - r) = 0⁠, więc r=2a2r = 2a_2⁠, a wtedy a2=1+2a2a_2 = 1 + 2a_2⁠, a2=−1a_2 = -1 i r=−2r = -2⁠.

Uwagi z zasad oceniania CKE

  • 1. Jeżeli zdający myli ciąg arytmetyczny z ciągiem geometrycznym, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
  • 2. Jeżeli zdający stosuje błędny wzór na nn-ty wyraz ciągu arytmetycznego, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.
  • 3. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe i otrzyma wartość nn⁠, która nie jest liczbą naturalną, to może otrzymać 2 punkty za całe rozwiązanie (traktujemy to jak obliczenie liczby wyrazów ciągu arytmetycznego z błędem rachunkowym). Zdający nie otrzymuje punktu za obliczenie sumy wyrazów ciągu arytmetycznego.
  • 4. a) Jeżeli zdający przyjmie, że r=−2r = -2 i sprawdzi rachunkiem, że ta wartość spełnia warunki zadania, ale nie uzasadni, że jest to jedyna wartość rr spełniająca warunki zadania, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za obliczenie nn oraz za obliczenie sumy).
  • b) Jeżeli zdający przyjmie bez uzasadnienia, że r=−2r = -2 i na tym opiera swoje rozwiązanie, to otrzymuje 0 punktów.

Chcesz rozwiązywać to zadanie z podpowiedziami? Zapisz się na listę oczekujących

Źródło: CKE, matura maj 2026, poziom rozszerzony, zadanie 6