Zadanie 2 · 3 pkt · otwarte

Iloczyn każdych trzech kolejnych wyrazów podzielny przez 3

Ze zbioru ośmiu liczb {1,2,3,4,5,6,7,8}\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} losujemy bez zwracania osiem razy po jednej liczbie. Wylosowane liczby ustawiamy w ciąg zgodnie z kolejnością losowania.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia AA polegającego na tym, że wylosowane liczby utworzą ciąg, w którym iloczyn każdych trzech kolejnych wyrazów będzie liczbą podzielną przez 33⁠. Wynik podaj w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź i rozwiązanieSpróbuj najpierw sam(a), potem sprawdź.

Rozwiązanie krok po kroku

  1. Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie permutacje zbioru {1,2,3,4,5,6,7,8}\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}⁠; jest to model klasyczny.

    ∣Ω∣=8!=40 320|\Omega| = 8! = 40\,320

    Do tego miejsca: 1 pkt

  2. Iloczyn trzech liczb całkowitych jest podzielny przez 33⁠, gdy co najmniej jedna z nich jest podzielna przez 33⁠, a w zbiorze są tylko dwie takie liczby, 33 i 66⁠. Rozłączne trójki (a1,a2,a3)(a_1, a_2, a_3) i (a6,a7,a8)(a_6, a_7, a_8) zawierają więc po jednej z nich, a pozostałe wyrazy, w tym a4a_4 i a5a_5⁠, nie są podzielne przez 33⁠.

    {3,6}∩{a4,a5}=∅\{3, 6\} \cap \{a_4, a_5\} = \varnothing

  3. Iloczyny a3⋅a4⋅a5a_3 \cdot a_4 \cdot a_5 i a4⋅a5⋅a6a_4 \cdot a_5 \cdot a_6 też mają być podzielne przez 33⁠, więc podzielne przez 33 muszą być a3a_3 i a6a_6⁠. Każdy taki ciąg spełnia warunek, bo każda trójka kolejnych wyrazów zawiera a3a_3 albo a6a_6⁠.

    {a3,a6}={3,6}\{a_3, a_6\} = \{3, 6\}

  4. Liczby 33 i 66 ustawiamy na miejscach trzecim i szóstym na 22 sposoby, a pozostałe sześć liczb na pozostałych miejscach na 6!6! sposobów.

    ∣A∣=2⋅6!=1440|A| = 2 \cdot 6! = 1440

    Do tego miejsca: 2 pkt

  5. Obliczamy prawdopodobieństwo w modelu klasycznym.

    P(A)=∣A∣∣Ω∣=2⋅6!8!=27⋅8=128P(A) = \dfrac{|A|}{|\Omega|} = \dfrac{2 \cdot 6!}{8!} = \dfrac{2}{7 \cdot 8} = \dfrac{1}{28}

    Do tego miejsca: 3 pkt

Odpowiedź

P(A)=128P(A) = \frac{1}{28}

Jak to jest punktowane

Za rozwiązanie jest jeden poziom — najwyższy, który spełnia.

  • 3 pktzastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 128\frac{1}{28}⁠.
  • 2 pktwyznaczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych oraz wyznaczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu AA⁠, np.∣Ω∣=8!|\Omega| = 8! oraz ∣A∣=2⋅6!|A| = 2 \cdot 6!⁠.
  • 1 pktwyznaczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych, np. ∣Ω∣=8!|\Omega| = 8!ALBO– zapisanie, że trzecim i szóstym wyrazem ciągu, który jest zdarzeniem elementarnym sprzyjającym zdarzeniu AA⁠, musi być liczba podzielna przez 33⁠,ALBO– wyznaczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu AA⁠, np. ∣A∣=2⋅6!|A| = 2 \cdot 6!⁠.

Uwagi z zasad oceniania CKE

  • 1. Jeżeli zdający zapisze, że trzecim i szóstym wyrazem ciągu, który jest zdarzeniem elementarnym sprzyjającym zdarzeniu AA⁠, musi być liczba podzielna przez 33⁠, ale – obliczając liczbę zdarzeń sprzyjających zdarzeniu AA – zapisze ∣A∣=6!|A| = 6! (lub ∣A∣=2⋅2⋅6!|A| = 2 \cdot 2 \cdot 6!⁠) oraz rozwiąże zadanie konsekwentnie do końca, to może otrzymać 2 punkty.
  • 2. Jeżeli zdający zapisze ∣Ω∣=(82)|\Omega| = \binom{8}{2} (lub ∣Ω∣=8⋅7|\Omega| = 8 \cdot 7⁠) bez stosownego komentarza i na tym zakończy, to otrzymuje 0 punktów.

Chcesz rozwiązywać to zadanie z podpowiedziami? Zapisz się na listę oczekujących

Źródło: CKE, matura maj 2026, poziom rozszerzony, zadanie 2