Zadanie 4 · 3 pkt · dowód

Długość odcinka PQ w kwadracie

Punkty $K$ i $L$ są środkami – odpowiednio – boków $AB$ i $BC$ kwadratu $ABCD$ o boku długości $a$ ⁠. Punkt $M$ jest takim punktem na boku $BC$ ⁠, że odcinki $DK$ i $KM$ są prostopadłe.

Odcinek $AL$ przecina odcinki $DK$ oraz $DM$ w punktach – odpowiednio – $P$ oraz $Q$ (zobacz rysunek).

Wykaż, że $|PQ| = \frac{\sqrt{5}}{5}a$ ⁠.

Pokaż odpowiedź i rozwiązanieSpróbuj najpierw sam(a), potem sprawdź.

Rozwiązanie krok po kroku

Oznaczmy $\alpha = |\measuredangle ADK|$ ⁠. Trójkąty prostokątne $DAK$ i $ABL$ mają odpowiednio równe przyprostokątne, więc są przystające (cecha bkb) i $|\measuredangle BAL| = |\measuredangle ADK| = \alpha$ ⁠.
$|DA| = |AB| = a, \qquad |AK| = |BL| = \dfrac{a}{2}, \qquad |\measuredangle DAK| = |\measuredangle ABL| = 90^\circ$
W trójkącie $APD$ kąt przy $A$ ma miarę $90^\circ - \alpha$ (dopełnienie kąta $BAL$ ⁠), a kąt przy $D$ — miarę $\alpha$ ⁠, więc kąt przy $P$ jest prosty, czyli $AL \perp DK$ ⁠.
$|\measuredangle APD| = 180^\circ - \alpha - (90^\circ - \alpha) = 90^\circ$
Do tego miejsca: 1 pkt
Trójkąty prostokątne $DPA$ i $DAK$ mają wspólny kąt $\alpha$ ⁠, więc są podobne.
$\dfrac{|DP|}{|AP|} = \dfrac{|DA|}{|AK|} = \dfrac{a}{\frac{a}{2}} = 2$
Oznaczmy $x = |AP|$ ⁠, wtedy $|DP| = 2x$ ⁠; z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $DPA$ obliczamy $x$ ⁠.
$x^2 + (2x)^2 = a^2 \;\Rightarrow\; x = \dfrac{a}{\sqrt{5}}$
Kąt $DKM$ jest prosty, więc $|\measuredangle BKM| = 180^\circ - 90^\circ - (90^\circ - \alpha) = \alpha$ ⁠, a trójkąty prostokątne $DAK$ i $KBM$ są podobne.
$\dfrac{|DK|}{|KM|} = \dfrac{|DA|}{|KB|} = \dfrac{a}{\frac{a}{2}} = 2$
Trójkąty prostokątne $DKM$ i $DAK$ mają przyprostokątne w tym samym stosunku $2 : 1$ ⁠, więc są podobne i kąty przy wierzchołku $D$ mają równe miary.
$\dfrac{|DK|}{|KM|} = \dfrac{|DA|}{|AK|} = 2 \;\Rightarrow\; |\measuredangle KDM| = |\measuredangle ADK| = \alpha$
Trójkąty prostokątne $DPA$ i $DPQ$ mają wspólną przyprostokątną $DP$ i równe kąty przy wierzchołku $D$ ⁠, więc są przystające (cecha kbk).
$|PQ| = |AP|$
Do tego miejsca: 2 pkt
Podstawiamy obliczoną długość odcinka $AP$ ⁠.
$|PQ| = \dfrac{a}{\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}a$
Do tego miejsca: 3 pkt

Odpowiedź

$|PQ| = \frac{\sqrt{5}}{5}a$ ⁠, co należało wykazać.

Jak to jest punktowane

Za rozwiązanie jest jeden poziom — najwyższy, który spełnia.

3 pktpoprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.
2 pktuzasadnienie, że odcinki $AL$ i $DK$ są prostopadłe (lub $AL$ i $KM$ są równoległe) i przedstawienie kompletnego rozumowania prowadzącego do wyznaczenia poprawnego równania z niewiadomą $|PQ|$ oraz zapisanie tego równaniaALBO– przyjęcie bez uzasadnienia, że odcinki $AL$ i $DK$ są prostopadłe (lub $AL$ i $KM$ są równoległe) oraz przeprowadzenie pełnego rozumowania przy tym założeniu i otrzymanie tezy $|PQ| = \frac{\sqrt{5}}{5}a$ ⁠,ALBO– obliczenie współrzędnych punktu $Q$ ⁠: $Q = \left(\frac{4}{5}a, \frac{2}{5}a\right)$ ⁠.
1 pktuzasadnienie, że odcinki $AL$ i $DK$ są prostopadłe (lub $AL$ i $KM$ są równoległe)ALBO– obliczenie długości boku $KM$ trójkąta $DKM$ i długości jednego z pozostałych dwóch boków tego trójkąta: $|KM| = \frac{\sqrt{5}}{4}a$ ⁠, $|DK| = \frac{\sqrt{5}}{2}a$ ⁠, $|DM| = \frac{5}{4}a$ ⁠,ALBO– obliczenie długości jednego z odcinków $AP$ ⁠, $DP$ lub $PK$ ⁠: $|AP| = \frac{1}{\sqrt{5}}a$ ⁠, $|DP| = \frac{2}{\sqrt{5}}a$ ⁠, $|PK| = \frac{1}{2\sqrt{5}}a$ ⁠,ALBO– obliczenie współrzędnych punktu $P$ ⁠: $P = \left(\frac{2}{5}a, \frac{1}{5}a\right)$ ⁠,ALBO– uzasadnienie, że trójkąty $EKD$ i $MKD$ są przystające.

Uznawane są też inne sposoby rozwiązania

Podobieństwo trójkątów $DKM$ i $DPQ$ — z podobieństwa trójkątów $APK$ ⁠, $DAK$ i $DPA$ mamy $|DP| = 4 \cdot |PK|$ ⁠, więc skala podobieństwa trójkątów $DKM$ i $DPQ$ to $\frac{|DK|}{|DP|} = \frac{5}{4}$ ⁠; trójkąt $KBM$ jest podobny do trójkąta $ABL$ w skali $1 : 2$ ⁠, więc $|KM| = \frac{1}{2}|AL| = \frac{\sqrt{5}}{4}a$ i $|PQ| = \frac{4}{5}|KM| = \frac{\sqrt{5}}{5}a$ ⁠.
Trójkąty $AQD$ i $LQM$ — ponieważ $|MB| = \frac{1}{4}a$ ⁠, to $|LM| = \frac{1}{4}a$ ⁠, a trójkąty $AQD$ i $LQM$ są podobne w skali $4$ ⁠; stąd $|LQ| = \frac{1}{4}(|AP| + |PQ|)$ i z $|LQ| + |AP| + |PQ| = |AL| = \frac{\sqrt{5}}{2}a$ wyznaczamy $|PQ|$ ⁠.
Punkt $E$ jako przecięcie prostych $AD$ i $KM$ — trójkąty $AKE$ i $BKM$ są przystające, więc $|EK| = |KM|$ i trójkąty $DKE$ i $DKM$ są przystające; stąd $EM \parallel AL$ ⁠, a trójkąty $APD$ i $QPD$ są przystające, czyli $|PQ| = |AP| = \frac{a}{\sqrt{5}}$ ⁠.
Analitycznie: $A = (0, 0)$ ⁠, $B = (a, 0)$ ⁠, $C = (a, a)$ ⁠, $D = (0, a)$ ⁠; prosta $DK$ ma równanie $y = -2x + a$ ⁠, a prosta $AL$ — równanie $y = \frac{1}{2}x$ ⁠, więc $P = \left(\frac{2}{5}a, \frac{1}{5}a\right)$ ⁠; prosta $KM$ jest prostopadła do $DK$ ⁠, więc $M = \left(a, \frac{1}{4}a\right)$ ⁠, prosta $DM$ ma równanie $y = -\frac{3}{4}x + a$ ⁠, $Q = \left(\frac{4}{5}a, \frac{2}{5}a\right)$ i $|PQ| = \sqrt{\frac{5}{25}}a = \frac{\sqrt{5}}{5}a$ ⁠.

Uwagi z zasad oceniania CKE

1. Jeżeli zdający przyjmie błędne założenie (np. że miara kąta $AKD$ jest równa $60^\circ$ ⁠) i na tym opiera swoje rozumowanie, to otrzymuje 0 punktów.
2. Jeżeli zdający uzasadni, że odcinki $AL$ i $DK$ są prostopadłe (lub $AL$ i $KM$ są równoległe), a w dalszej części rozwiązania popełni tylko jeden błąd rachunkowy, ale zrealizuje w pełni strategię rozwiązania zadania, otrzymując równanie z jedną niewiadomą $|PQ|$ ⁠, to otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie.

Chcesz rozwiązywać to zadanie z podpowiedziami? Zapisz się na listę oczekujących

Źródło: CKE, matura maj 2026, poziom rozszerzony, zadanie 4