Nierówność |2x − 6| − |x² − 9| < 0

Jak to jest punktowane

Za rozwiązanie jest jeden poziom — najwyższy, który spełnia.

• 4 pktzastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: $x \in (-\infty, -5) \cup (-1, 3) \cup (3, +\infty)$⁠.
• 3 pktzapisanie trzech przedziałów: $(-\infty, -3)$ i $[-3, 3)$ i $[3, +\infty)$ (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym z tych przedziałów oraz rozwiązanie nierówności w dwóch spośród tych przedziałów – tj. wyznaczenie części wspólnych zbiorów rozwiązań zapisanych nierówności z rozpatrywanymi przedziałamiALBO– rozwiązanie nierówności $2 - |x + 3| < 0$⁠,ALBO– zapisanie koniunkcji nierówności $2 - |x + 3| < 0$ i $x \ne 3$⁠,ALBO– przekształcenie nierówności do postaci $(x - 3)^2(x + 1)(x + 5) > 0$⁠,ALBO– wyznaczenie wszystkich pierwiastków wielomianu $x^4 - 22x^2 + 24x + 45$ i określenie krotności tych pierwiastków,ALBO– zapisanie nierówności w postaci równoważnej koniunkcji dwóch nierówności: $2x - 6 < |x^2 - 9|$ i $2x - 6 > -|x^2 - 9|$⁠, a następnie w postaci równoważnej koniunkcji alternatyw nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej: $(x^2 - 9 > 2x - 6$ lub $x^2 - 9 < -2x + 6)$ i $(x^2 - 9 > -2x + 6$ lub $x^2 - 9 < 2x - 6)$⁠,ALBO– zapisanie nierówności w postaci równoważnej alternatywy dwóch nierówności: $x^2 - 9 > |2x - 6|$ lub $x^2 - 9 < -|2x - 6|$⁠, a następnie w postaci równoważnej alternatywy koniunkcji nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej: $(2x - 6 < x^2 - 9$ i $2x - 6 < -x^2 + 9)$ lub $(2x - 6 < -x^2 + 9$ i $2x - 6 > x^2 - 9)$⁠,ALBO– zapisanie czterech przypadków: $2x - 6 < 0$ i $x^2 - 9 < 0$⁠,$2x - 6 < 0$ i $x^2 - 9 \ge 0$⁠, $2x - 6 \ge 0$ i $x^2 - 9 < 0$⁠, $2x - 6 \ge 0$ i $x^2 - 9 \ge 0$ (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym z tych przypadków oraz rozwiązanie nierówności w dwóch spośród trzech następujących przypadków: $2x - 6 < 0$ i $x^2 - 9 < 0$⁠, $2x - 6 < 0$ i $x^2 - 9 \ge 0$⁠, $2x - 6 \ge 0$ i $x^2 - 9 \ge 0$ – tj. wyznaczenie części wspólnych zbiorów rozwiązań zapisanych nierówności,ALBO– zapisanie, że przypadek $2x - 6 \ge 0$ i $x^2 - 9 < 0$ jest sprzeczny oraz zapisanie trzech przypadków: $2x - 6 < 0$ i $x^2 - 9 < 0$⁠, $2x - 6 < 0$ i $x^2 - 9 \ge 0$⁠, $2x - 6 \ge 0$ i $x^2 - 9 \ge 0$ (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym z tych przypadków oraz rozwiązanie nierówności w dwóch spośród tych trzech przypadków – tj. wyznaczenie części wspólnych zbiorów rozwiązań zapisanych nierówności,ALBO– odczytanie z wykresów funkcji $f(x) = |2x - 6|$ oraz $g(x) = |x^2 - 9|$ pierwszych współrzędnych punktów ich przecięcia: $x = -5$ oraz $x = -1$ oraz $x = 3$ i sprawdzenie rachunkiem poprawności odczytanych współrzędnych.
• 2 pktzapisanie trzech przedziałów: $(-\infty, -3)$ i $[-3, 3)$ i $[3, +\infty)$ (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym z tych przedziałówALBO– zapisanie nierówności $|x - 3| \cdot (2 - |x + 3|) < 0$⁠,ALBO– zapisanie jednej z nierówności:$1 < \frac{|x + 3|}{2}$ (bez zapisania założenia $x \ne 3$⁠),$1 < \frac{|x^2 - 9|}{2 \cdot |x - 3|}$ z zapisaniem założenia $x \ne 3$⁠,$1 < \frac{|x - 3| \cdot |x + 3|}{|2x - 6|}$ z zapisaniem założenia $x \ne 3$⁠,$1 < \left|\frac{(x - 3)(x + 3)}{2x - 6}\right|$ z zapisaniem założenia $x \ne 3$⁠,$(x - 3)^2 \cdot [4 - (x + 3)^2] < 0$⁠,ALBO– przekształcenie nierówności do postaci $x^4 - 22x^2 + 24x + 45 > 0$ i wyznaczenie dwóch pierwiastków wielomianu $x^4 - 22x^2 + 24x + 45$ (lub zapisanie, że $3$ jest dwukrotnym pierwiastkiem tego wielomianu),ALBO– zapisanie nierówności w postaci równoważnej koniunkcji dwóch nierówności: $2x - 6 < |x^2 - 9|$ i $2x - 6 > -|x^2 - 9|$⁠,ALBO– zapisanie nierówności w postaci równoważnej alternatywy dwóch nierówności: $x^2 - 9 > |2x - 6|$ lub $x^2 - 9 < -|2x - 6|$⁠,ALBO– zapisanie czterech przypadków: $2x - 6 < 0$ i $x^2 - 9 < 0$⁠,$2x - 6 < 0$ i $x^2 - 9 \ge 0$⁠, $2x - 6 \ge 0$ i $x^2 - 9 < 0$⁠, $2x - 6 \ge 0$ i $x^2 - 9 \ge 0$ (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym z tych przypadków,ALBO– zapisanie trzech przypadków: $2x - 6 < 0$ i $x^2 - 9 < 0$⁠, $2x - 6 < 0$ i $x^2 - 9 \ge 0$⁠, $2x - 6 \ge 0$ i $x^2 - 9 \ge 0$ (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym z tych przypadków oraz zapisanie, że przypadek $2x - 6 \ge 0$ i $x^2 - 9 < 0$ jest sprzeczny,ALBO– narysowanie wykresów funkcji $f(x) = |2x - 6|$ oraz $g(x) = |x^2 - 9|$⁠.
• 1 pktzapisanie trzech przedziałów: $(-\infty, -3)$ i $[-3, 3)$ i $[3, +\infty)$ (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie danej nierówności w jednym z tych przedziałów bez użycia symbolu wartości bezwzględnejALBO– zapisanie jednego z przedziałów: $(-\infty, -3)$⁠, $[-3, 3)$⁠, $[3, +\infty)$ (z dokładnością do domknięcia) oraz rozwiązanie danej nierówności w tym przedziale – tj. wyznaczenie części wspólnej zbioru rozwiązań zapisanej nierówności z rozpatrywanym przedziałem,ALBO– zastosowanie własności wartości bezwzględnej i zapisanie nierówności: $2 \cdot |x - 3| - |(x - 3)(x + 3)| < 0$⁠,ALBO– zastosowanie własności wartości bezwzględnej i zapisanie nierówności w jednej z następujących postaci:$1 < \frac{|x^2 - 9|}{2 \cdot |x - 3|}$ (bez zapisania założenia $x \ne 3$⁠),$1 < \frac{|x - 3| \cdot |x + 3|}{|2x - 6|}$ (bez zapisania założenia $x \ne 3$⁠),$1 < \left|\frac{(x - 3)(x + 3)}{2x - 6}\right|$ (bez zapisania założenia $x \ne 3$⁠),$(2x - 6)^2 < (x^2 - 9)^2$⁠,ALBO– zapisanie czterech przypadków: $2x - 6 < 0$ i $x^2 - 9 < 0$⁠,$2x - 6 < 0$ i $x^2 - 9 \ge 0$⁠, $2x - 6 \ge 0$ i $x^2 - 9 < 0$⁠, $2x - 6 \ge 0$ i $x^2 - 9 \ge 0$ (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie danej nierówności w jednym z tych przypadków bez użycia wartości bezwzględnej,ALBO– zapisanie jednego z trzech przypadków: $2x - 6 < 0$ i $x^2 - 9 < 0$⁠,$2x - 6 < 0$ i $x^2 - 9 \ge 0$⁠, $2x - 6 \ge 0$ i $x^2 - 9 \ge 0$ (z dokładnością do domknięcia) oraz rozwiązanie danej nierówności w tym przypadku – tj. wyznaczenie części wspólnej zbiorów rozwiązań zapisanych nierówności.

Uznawane są też inne sposoby rozwiązania

• Własności wartości bezwzględnej: $|2x - 6| - |x^2 - 9| = 2 \cdot |x - 3| - |x - 3| \cdot |x + 3| = |x - 3| \cdot (2 - |x + 3|)$⁠, więc nierówność jest spełniona, gdy $x \ne 3$ i $|x + 3| > 2$⁠, czyli gdy $x < -5$ lub $x > -1$ (przy $x \ne 3$⁠).
• Dzielenie przez $|2x - 6|$ — dla $x = 3$ nierówność nie jest spełniona, a dla $x \ne 3$ jest równoważna nierówności $1 < \frac{|x^2 - 9|}{|2x - 6|} = \frac{|x + 3|}{2}$⁠.
• Nierówność wielomianowa: obie strony nierówności $|2x - 6| < |x^2 - 9|$ są nieujemne, więc po podniesieniu do kwadratu $(2x - 6)^2 < (x^2 - 9)^2$⁠, czyli $(x - 3)^2[4 - (x + 3)^2] < 0$ i $(x - 3)^2(x + 1)(x + 5) > 0$⁠.
• Koniunkcja nierówności: $2x - 6 < |x^2 - 9|$ i $2x - 6 > -|x^2 - 9|$⁠, a każdą z nich zamieniamy na alternatywę nierówności bez wartości bezwzględnej.

Uwagi z zasad oceniania CKE

• 1. Jeżeli zdający, zapisując nierówność bez użycia wartości bezwzględnej, popełni błąd, który nie jest rachunkowy, tylko w jednym z rozpatrywanych przypadków/przedziałów i rozwiąże zadanie do końca, to może uzyskać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej punktacji zgodnej z zasadami oceniania.
• 2. Jeżeli zdający nie rozpatruje przedziałów, które wyczerpują zbiór wszystkich liczb rzeczywistych i w których nierówność ma różne postacie (lub rozpatruje przypadki wyznaczone jedynie przez nierówności ostre, które nie wyczerpują zbioru $\mathbb{R}$⁠), to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.
• 3. Jeżeli zdający przy rozwiązaniu graficznym poda zbiór rozwiązań $(-\infty, -5) \cup (-1, 3) \cup (3, +\infty)$⁠, ale nie sprawdzi rachunkiem pierwszych współrzędnych punktów przecięcia wykresów funkcji $f(x) = |2x - 6|$ i $g(x) = |x^2 - 9|$⁠, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.
• 4. Jeżeli zdający, podając zbiór rozwiązań nierówności, nie uwzględni warunku $x \ne 3$⁠, to może uzyskać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.