Zadanie 11 · 6 pkt · otwarte

Czworokąt wpisany w okrąg i opisany na okręgu

W czworokącie ABCDABCD są dane: ∣AB∣=9|AB| = 9⁠, ∣AD∣=10|AD| = 10 oraz ∣∡BAD∣=60∘|\measuredangle BAD| = 60^\circ⁠.

W ten czworokąt wpisano okrąg oraz na tym czworokącie opisano okrąg (zobacz rysunek).

Oblicz długości boków BCBC i CDCD oraz pole czworokąta ABCDABCD⁠. Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź i rozwiązanieSpróbuj najpierw sam(a), potem sprawdź.

Rozwiązanie krok po kroku

  1. Na czworokącie opisano okrąg, więc suma miar jego kątów przeciwległych jest równa 180∘180^\circ⁠.

    ∣∡BCD∣=180∘−60∘=120∘|\measuredangle BCD| = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ

    Do tego miejsca: 1 pkt

  2. W czworokąt wpisano okrąg, więc sumy długości jego przeciwległych boków są równe; oznaczmy x=∣BC∣x = |BC|⁠.

    9+∣CD∣=10+∣BC∣  ⇒  ∣CD∣=x+19 + |CD| = 10 + |BC| \;\Rightarrow\; |CD| = x + 1

    Do tego miejsca: 2 pkt

  3. Stosujemy twierdzenie cosinusów w trójkącie ABDABD⁠.

    ∣BD∣2=92+102−2⋅9⋅10⋅cos⁡60∘=181−90=91|BD|^2 = 9^2 + 10^2 - 2 \cdot 9 \cdot 10 \cdot \cos 60^\circ = 181 - 90 = 91

    Do tego miejsca: 3 pkt

  4. Stosujemy twierdzenie cosinusów w trójkącie BCDBCD⁠, w którym cos⁡120∘=−12\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}⁠.

    91=x2+(x+1)2−2x(x+1)cos⁡120∘=x2+(x+1)2+x(x+1)91 = x^2 + (x + 1)^2 - 2x(x + 1)\cos 120^\circ = x^2 + (x + 1)^2 + x(x + 1)

    Do tego miejsca: 4 pkt

  5. Porządkujemy równanie i rozwiązujemy je; długość boku jest dodatnia, więc odrzucamy x=−6x = -6⁠.

    3x2+3x−90=0  ⇔  x2+x−30=0  ⇔  x=5  ∨  x=−63x^2 + 3x - 90 = 0 \;\Leftrightarrow\; x^2 + x - 30 = 0 \;\Leftrightarrow\; x = 5 \;\lor\; x = -6

  6. Obliczamy długości szukanych boków.

    ∣BC∣=5,∣CD∣=5+1=6|BC| = 5, \qquad |CD| = 5 + 1 = 6

    Do tego miejsca: 5 pkt

  7. Pole czworokąta jest sumą pól trójkątów ABDABD i BCDBCD⁠.

    P=12⋅9⋅10⋅sin⁡60∘+12⋅5⋅6⋅sin⁡120∘=4532+1532=303P = \dfrac{1}{2} \cdot 9 \cdot 10 \cdot \sin 60^\circ + \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 \cdot \sin 120^\circ = \dfrac{45\sqrt{3}}{2} + \dfrac{15\sqrt{3}}{2} = 30\sqrt{3}

    Do tego miejsca: 6 pkt

Odpowiedź

∣BC∣=5|BC| = 5⁠, ∣CD∣=6|CD| = 6⁠, P=303P = 30\sqrt{3}

Jak to jest punktowane

Za rozwiązanie jest jeden poziom — najwyższy, który spełnia.

  • 6 pktzastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: ∣BC∣=5|BC| = 5 i ∣CD∣=6|CD| = 6 oraz P=303P = 30\sqrt{3}⁠.
  • 5 pktobliczenie długości boków BCBC oraz CDCD⁠: ∣BC∣=5|BC| = 5 oraz ∣CD∣=6|CD| = 6⁠.
  • 4 pktzapisanie równania z jedną niewiadomą (długością boku BCBC lub długością boku CDCD⁠), np.91=∣BC∣2+(∣BC∣+1)2−2⋅∣BC∣⋅(∣BC∣+1)⋅cos⁡120∘91 = |BC|^2 + (|BC| + 1)^2 - 2 \cdot |BC| \cdot (|BC| + 1) \cdot \cos 120^\circ⁠,91=(∣BC∣+1+12⋅∣BC∣)2+(32⋅∣BC∣)291 = \left(|BC| + 1 + \frac{1}{2} \cdot |BC|\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot |BC|\right)^2ALBO– zapisanie układu równań z dwiema niewiadomymi (długościami boków BCBC i CDCD⁠), np. {9+∣CD∣=10+∣BC∣(91)2=∣BC∣2+∣CD∣2−2⋅∣BC∣⋅∣CD∣⋅cos⁡120∘\begin{cases} 9 + |CD| = 10 + |BC| \\ (\sqrt{91})^2 = |BC|^2 + |CD|^2 - 2 \cdot |BC| \cdot |CD| \cdot \cos 120^\circ \end{cases}
  • 3 pktspełnienie wszystkich warunków 1) – 3) określonych w kryterium za 1 punktALBO– spełnienie warunków 1) i 2) określonych w kryterium za 1 punkt oraz zastosowanie twierdzenia cosinusów do trójkąta BCDBCD i zapisanie równania ∣BD∣2=∣BC∣2+∣CD∣2−2⋅∣BC∣⋅∣CD∣⋅cos⁡∣∡BCD∣|BD|^2 = |BC|^2 + |CD|^2 - 2 \cdot |BC| \cdot |CD| \cdot \cos|\measuredangle BCD|⁠,ALBO– spełnienie warunków 2) i 3) określonych w kryterium za 1 punkt oraz zastosowanie twierdzenia cosinusów do trójkąta BCDBCD i zapisanie równania ∣BD∣2=∣BC∣2+∣CD∣2−2⋅∣BC∣⋅∣CD∣⋅cos⁡∣∡BCD∣|BD|^2 = |BC|^2 + |CD|^2 - 2 \cdot |BC| \cdot |CD| \cdot \cos|\measuredangle BCD|⁠.
  • 2 pktspełnienie dwóch spośród warunków 1) – 3) określonych w kryterium za 1 punkt.
  • 1 pktspełnienie jednego z warunków 1) – 3):1) zastosowanie twierdzenia o czworokącie opisanym na okręgu i zapisanie zależności między długością boku BCBC a długością boku CDCD czworokąta, np. 9+∣CD∣=10+∣BC∣9 + |CD| = 10 + |BC|⁠,2) zapisanie jednego z dwóch równań: ∣BD∣2=92+102−2⋅9⋅10⋅cos⁡60∘|BD|^2 = 9^2 + 10^2 - 2 \cdot 9 \cdot 10 \cdot \cos 60^\circ lub ∣BD∣2=(32⋅10)2+(9−5)2|BD|^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 10\right)^2 + (9 - 5)^2⁠,3) zastosowanie twierdzenia o czworokącie wpisanym w okrąg i obliczenie miary kąta BCDBCD⁠: 120∘120^\circ⁠.

Uwagi z zasad oceniania CKE

  • Jeżeli jedynym błędem zdającego jest:a) błędne zastosowanie twierdzenia cosinusów albob) błędne zastosowanie wzoru redukcyjnego, alboc) błędne zastosowanie twierdzenia o czworokącie opisanym na okręgu (tj. zapisanie związku 9⋅∣CD∣=10⋅∣BC∣9 \cdot |CD| = 10 \cdot |BC| lub 10+∣CD∣=9+∣BC∣10 + |CD| = 9 + |BC|⁠), albod) błędne zastosowanie własności miarowych trójkąta prostokątnego o kątach ostrych 30∘30^\circ i 60∘60^\circ⁠, alboe) błędna interpretacja obliczonej długości jednego z dwóch szukanych boków czworokąta,ale zdający realizuje poprawnie strategię rozwiązania zadania, to może otrzymać co najwyżej 4 punkty za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.Jeżeli zdający popełni dodatkowo błędy rachunkowe, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.

Chcesz rozwiązywać to zadanie z podpowiedziami? Zapisz się na listę oczekujących

Źródło: CKE, matura maj 2026, poziom rozszerzony, zadanie 11