Dwa miejsca zerowe funkcji kwadratowej w przedziale (−2, 2)

Jak to jest punktowane

Za rozwiązanie jest jeden poziom — najwyższy, który spełnia.

• 5 pktZasady oceniania (dla sposobu I)zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: $(1, +\infty)$⁠.Zasady oceniania (dla sposobu II)zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: $(1, +\infty)$⁠.Zasady oceniania (dla sposobu III)zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: $(1, +\infty)$⁠.
• 4 pktZasady oceniania (dla sposobu I)rozwiązanie pięciu warunków 1) – 5) określonych w kryterium za 1 punkt.Zasady oceniania (dla sposobu II)rozwiązanie pięciu warunków I) – V) określonych w kryterium za 2 punktyALBO– spełnienie warunków I) oraz III), oraz IV), oraz zapisanie $x_1 < x_2$⁠.Zasady oceniania (dla sposobu III)rozwiązanie pięciu warunków A) – E) określonych w kryterium za 1 punkt.
• 3 pktZasady oceniania (dla sposobu I)rozwiązanie czterech spośród warunków 1) – 5) określonych w kryterium za 1 punkt.Zasady oceniania (dla sposobu II)spełnienie czterech spośród warunków I) – V) określonych w kryterium za 2 punktyALBO– spełnienie warunków I) oraz III), oraz zapisanie $x_1 < x_2$⁠,ALBO– spełnienie warunków I) oraz IV), oraz zapisanie $x_1 < x_2$⁠,ALBO– spełnienie warunków III) oraz IV), oraz zapisanie $x_1 < x_2$⁠.Zasady oceniania (dla sposobu III)rozwiązanie czterech warunków spośród warunków A) – E) określonych w kryterium za 1 punkt.
• 2 pktZasady oceniania (dla sposobu I)rozwiązanie trzech spośród warunków 1) – 5) określonych w kryterium za 1 punkt.Zasady oceniania (dla sposobu II)spełnienie warunku I) i jednego z warunków II) – V):I) wyznaczenie wszystkich wartości parametru $m$⁠, dla których funkcja $f$ ma dokładnie dwa miejsca zerowe oraz wyznaczenie miejsc zerowych $x_1$ oraz $x_2$ funkcji $f$ w zależności od $m$⁠: $m \in (0, +\infty)$ i $x_1 = \frac{1 - \sqrt{m}}{m}$ oraz $x_2 = \frac{1 + \sqrt{m}}{m}$⁠,II) rozwiązanie nierówności $x_1 < 2$⁠: $m \in \left(\frac{1}{4}, +\infty\right)$⁠,III) rozwiązanie nierówności $-2 < x_1$ : $m \in (0, +\infty)$⁠,IV) rozwiązanie nierówności $x_2 < 2$⁠: $m \in (1, +\infty)$⁠,V) rozwiązanie nierówności $-2 < x_2$ : $m \in (0, +\infty)$⁠,ALBO– spełnienie trzech spośród warunków II) – V).Zasady oceniania (dla sposobu III)rozwiązanie trzech warunków spośród warunków A) – E) określonych w kryterium za 1 punkt.
• 1 pktZasady oceniania (dla sposobu I)zapisanie wszystkich warunków 1) – 5):1) $f(p) < 0$ (lub $q < 0$⁠, lub $\Delta > 0$⁠),2) $p > -2$⁠,3) $p < 2$⁠,4) $f(-2) > 0$⁠,5) $f(2) > 0$⁠,ALBO– rozwiązanie jednego z warunków 1) – 5):1) $f(p) < 0$ (lub $q < 0$⁠, lub $\Delta > 0$⁠): $m \in (0, +\infty)$⁠,2) $p > -2$⁠: $m \in \left(-\infty, -\frac{1}{2}\right) \cup (0, +\infty)$⁠,3) $p < 2$⁠: $m \in (-\infty, 0) \cup \left(\frac{1}{2}, +\infty\right)$⁠,4) $f(-2) > 0$⁠: $m \in \mathbb{R}$⁠,5) $f(2) > 0$⁠: $m \in \left(-\infty, \frac{1}{4}\right) \cup (1, +\infty)$⁠.Zasady oceniania (dla sposobu II)wyznaczenie wszystkich wartości parametru $m$⁠, dla których funkcja $f$ ma dokładnie dwa miejsca zerowe: $m \in (0, +\infty)$ALBO– wyznaczenie miejsc zerowych funkcji $f$ w zależności od $m$⁠: $x_1 = \frac{1 - \sqrt{m}}{m}$ oraz $x_2 = \frac{1 + \sqrt{m}}{m}$⁠.Zasady oceniania (dla sposobu III)zapisanie warunków A) – E):A) $\Delta > 0$⁠,B) $x_1 + 2 + x_2 + 2 > 0$⁠,C) $x_1 \cdot x_2 + 2(x_1 + x_2) + 4 > 0$⁠,D) $2 - x_1 + 2 - x_2 > 0$⁠,E) $x_1 \cdot x_2 - 2(x_1 + x_2) + 4 > 0$⁠,ALBO– rozwiązanie jednego z warunków A) – E):A) $\Delta > 0$⁠: $m \in (0, +\infty)$⁠,B) $x_1 + 2 + x_2 + 2 > 0$⁠: $m \in \left(-\infty, -\frac{1}{2}\right) \cup (0, +\infty)$⁠,C) $x_1 \cdot x_2 + 2(x_1 + x_2) + 4 > 0$⁠: $m \ne 0$⁠,D) $2 - x_1 + 2 - x_2 > 0$⁠: $m \in (-\infty, 0) \cup \left(\frac{1}{2}, +\infty\right)$⁠,E) $x_1 \cdot x_2 - 2(x_1 + x_2) + 4 > 0$⁠: $m \in (-\infty, 0) \cup \left(0, \frac{1}{4}\right) \cup (1, +\infty)$⁠.

Uznawane są też inne sposoby rozwiązania

• Miejsca zerowe wprost: $f(x) = (mx - 1)^2 - m$⁠, więc funkcja ma dwa miejsca zerowe tylko dla $m > 0$⁠, $x_1 = \frac{1 - \sqrt{m}}{m}$⁠, $x_2 = \frac{1 + \sqrt{m}}{m}$⁠; nierówność $-2 < x_1 < 2$ spełniają liczby $m \in \left(\frac{1}{4}, +\infty\right)$⁠, a $-2 < x_2 < 2$ — liczby $m \in (1, +\infty)$⁠.
• Wzory Viète’a: liczby $x_1 + 2$⁠, $x_2 + 2$ oraz $2 - x_1$⁠, $2 - x_2$ są dodatnie wtedy i tylko wtedy, gdy ich sumy i iloczyny są dodatnie; razem z $\Delta = 4m^3 > 0$ daje to warunki A)–E), np. $x_1x_2 - 2(x_1 + x_2) + 4 = \frac{4m^2 - 5m + 1}{m^2} > 0$⁠.

Uwagi z zasad oceniania CKE

• 1. Jeżeli zdający rozwiązuje warunek $\Delta \ge 0$⁠, to za tę część rozwiązania otrzymuje 0 punktów.
• 2. Jeżeli zdający:a) nie rozwiąże wszystkich warunków 1) – 5) określonych w kryterium za 1 punkt albob) podczas rozwiązywania warunków 1) – 5) popełni błędy rachunkowe i otrzyma zbiory rozwiązań, których część wspólna jest zbiorem pustym, alboc) popełni błąd, który nie jest rachunkowy,to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.
• 1. Jeżeli zdający rozwiązuje warunek $\Delta \ge 0$⁠, to za tę część rozwiązania otrzymuje 0 punktów.
• 2. Jeżeli zdający:a) nie rozwiąże wszystkich warunków I) – V) określonych w kryterium za 1 punkt albob) podczas rozwiązywania warunków I) – V) popełni błędy rachunkowe i otrzyma zbiory rozwiązań, których część wspólna jest zbiorem pustym, alboc) popełni błąd, który nie jest rachunkowy,to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.
• 1. Jeżeli zdający rozwiązuje warunek $\Delta \ge 0$⁠, to za tę część rozwiązania otrzymuje 0 punktów.
• 2. Jeżeli zdający:a) nie rozwiąże wszystkich warunków A) – E) określonych w kryterium za 1 punkt albob) podczas rozwiązywania warunków A) – E) popełni błędy rachunkowe i otrzyma zbiory rozwiązań, których część wspólna jest zbiorem pustym, alboc) popełni błąd, który nie jest rachunkowy,to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.