Nierówność z ułamkami dla dodatnich x i y

Jak to jest punktowane

Za rozwiązanie jest jeden poziom — najwyższy, który spełnia.

• 3 pktpoprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania, tj.:• przekształcenie nierówności $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \le \frac{x}{y^2} + \frac{y}{x^2}$ do postaci $(x - y)^2 \ge 0$ (lub do postaci $\frac{(x - y)^2}{x^2y^2} \ge 0$⁠) i zapisanie, że kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemnyALBO• przekształcenie nierówności $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \le \frac{x}{y^2} + \frac{y}{x^2}$ do postaci $(x + y)(x - y)^2 \ge 0$ (lub do postaci $\frac{(x + y)(x - y)^2}{x^2y^2} \ge 0$⁠) oraz uzasadnienie, że dla liczb dodatnich $x$⁠, $y$ nierówność $(x + y)(x - y)^2 \ge 0$ (lub nierówność $\frac{(x + y)(x - y)^2}{x^2y^2} \ge 0$⁠) jest prawdziwa,ALBO• obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji $f$ oraz uzasadnienie, że funkcja $f$ osiąga wartość najmniejszą dla $x = y$ i obliczenie $f(y)$⁠.
• 2 pktprzekształcenie nierówności $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \le \frac{x}{y^2} + \frac{y}{x^2}$ do postaci $x^2 - 2xy + y^2 \ge 0$ (lub do postaci $\frac{x^2 - 2xy + y^2}{x^2y^2} \ge 0$⁠)ALBO– przekształcenie nierówności $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \le \frac{x}{y^2} + \frac{y}{x^2}$ do postaci $(x + y)(x - y)^2 \ge 0$ (lub do postaci $\frac{(x + y)(x - y)^2}{x^2y^2} \ge 0$⁠),ALBO– obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji $f$⁠: $x = y$⁠.
• 1 pktprzekształcenie nierówności do postaci $W(x, y) \ge 0$ (lub do postaci$\frac{W(x, y)}{x^2y^2} \ge 0$⁠), gdzie $W$ jest wielomianem zmiennych $x$ oraz $y$⁠, np.: $x^3 + y^3 - xy^2 - x^2y \ge 0$⁠, $x^3 + y^3 - xy(x + y) \ge 0$⁠, $\frac{x^3 + y^3 - xy^2 - x^2y}{x^2y^2} \ge 0$ALBO– przekształcenie nierówności do postaci $\frac{(x + y)(x^2 - xy + y^2)}{x^2y^2} \ge \frac{x + y}{xy}$⁠,ALBO– rozważenie funkcji $f(x) = \frac{x}{y^2} + \frac{y}{x^2} - \frac{1}{x} - \frac{1}{y}$ zmiennej dodatniej $x$ z parametrem $y > 0$ oraz wyznaczenie pochodnej tej funkcji, np. $f'(x) = \frac{1}{y^2} - \frac{2y}{x^3} + \frac{1}{x^2}$⁠.

Uznawane są też inne sposoby rozwiązania

• Grupowanie wyrazów: $x^3 - xy^2 + y^3 - yx^2 = x(x^2 - y^2) + y(y^2 - x^2) = (x - y)(x^2 - y^2) = (x - y)^2(x + y) \ge 0$⁠.
• Bez mnożenia nierówności: sprowadzamy $\frac{x}{y^2} + \frac{y}{x^2} - \frac{1}{x} - \frac{1}{y}$ do wspólnego mianownika $x^2y^2$ i otrzymujemy $\frac{(x - y)^2(x + y)}{x^2y^2} \ge 0$⁠.
• Badanie funkcji: $f(x) = \frac{x}{y^2} + \frac{y}{x^2} - \frac{1}{x} - \frac{1}{y}$ zmiennej $x > 0$ z parametrem $y > 0$ ma pochodną $f'(x) = \frac{(x - y)(x^2 + xy + 2y^2)}{x^3y^2}$⁠, więc jest malejąca w $(0, y]$ i rosnąca w $[y, +\infty)$⁠; jej najmniejsza wartość to $f(y) = 0$⁠, czyli $f(x) \ge 0$⁠.

Uwagi z zasad oceniania CKE

• 1. Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość nierówności jedynie dla wybranych wartości $x$ i $y$⁠, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
• 2. Jeżeli zdający przekształci nierówność do postaci $(x^2 - y^2)(x - y) \ge 0$⁠, a następnie uzasadni prawdziwość tej nierówności w przypadku, gdy $x > y$ oraz w przypadku, gdy $x < y$⁠, a pominie przypadek $x = y$⁠, to otrzymuje 2 punkty.