Równanie sin(6x) − 2sin(2x) = 0

Jak to jest punktowane

Za rozwiązanie jest jeden poziom — najwyższy, który spełnia.

• 4 pktzastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik, np.: $\frac{\pi k}{2}$ oraz $-\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$ oraz $\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$⁠, gdzie $k \in \mathbb{Z}$⁠.
• 3 pktprzekształcenie równania do postaci alternatywy równań trygonometrycznych i rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy, np.:• ($\sin(2x) = 0$ lub $\cos^2(2x) = \frac{3}{4}$⁠) oraz$x = \frac{\pi k}{2}$ (rozwiązania równania $\sin(2x) = 0$⁠)• ($\sin(2x) = 0$ lub $\cos(2x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ lub $\cos(2x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$⁠) oraz$x = -\frac{5\pi}{12} + \pi k$ oraz $x = \frac{5\pi}{12} + \pi k$ (rozwiązania równania $\cos(2x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$⁠)• ($\sin(2x) = 0$ lub $\cos(4x) = \frac{1}{2}$⁠) oraz$x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$ oraz $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$ (rozwiązania równania $\cos(4x) = \frac{1}{2}$⁠)• ($\sin(2x) = 0$ lub $\sin(2x) = -\frac{1}{2}$ lub $\sin(2x) = \frac{1}{2}$⁠) oraz$x = -\frac{\pi}{12} + \pi k$ oraz $x = -\frac{5\pi}{12} + \pi k$ (rozwiązania równania $\sin(2x) = -\frac{1}{2}$⁠),gdzie $k \in \mathbb{Z}$⁠.
• 2 pktprzekształcenie równania do postaci alternatywy równań trygonometrycznych, np.:$\sin(2x) = 0$ lub $\cos^2(2x) = \frac{3}{4}$⁠,$\sin(2x) = 0$ lub $\cos(2x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ lub $\cos(2x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$⁠,$\sin(2x) = 0$ lub $2\cos(4x) - 1 = 0$⁠,$\sin(2x) = 0$ lub $4\sin^2(2x) - 1 = 0$⁠.
• 1 pktzastosowanie wzoru na sinus sumy i przekształcenie równania do postaci $\sin(4x)\cos(2x) + \cos(4x)\sin(2x) - 2\sin(2x) = 0$ (dla sposobu I)ALBO– zastosowanie wzoru na różnicę sinusów i przekształcenie równania do postaci $2\cos(4x)\sin(2x) - \sin(2x) = 0$ (dla sposobu II),ALBO– zastosowanie wzoru na sinus potrojonego kąta i przekształcenie równania do postaci $-4\sin^3(2x) + 3\sin(2x) - 2\sin(2x) = 0$ (dla sposobu III).

Uznawane są też inne sposoby rozwiązania

• Różnica sinusów: $\sin(6x) - \sin(2x) = 2\cos(4x)\sin(2x)$⁠, więc równanie ma postać $2\cos(4x)\sin(2x) - \sin(2x) = 0$⁠, czyli $\sin(2x)[2\cos(4x) - 1] = 0$⁠.
• Sinus potrojonego kąta: $\sin(6x) = \sin(3 \cdot 2x) = 3\sin(2x) - 4\sin^3(2x)$⁠, więc $-4\sin^3(2x) + 3\sin(2x) - 2\sin(2x) = 0$⁠, czyli $\sin(2x)[1 - 4\sin^2(2x)] = 0$⁠.

Uwagi z zasad oceniania CKE

• 1. a) Jeżeli zdający popełni błędy, które nie są rachunkowe, nie zrealizuje wymagań z kryterium za 1 punkt, przekształci równanie do postaci $\sin(2x) \cdot f(x) = 0$⁠, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie (za rozwiązanie równania $\sin(2x) = 0$⁠).
• b) Jeżeli zdający zrealizuje wymagania z kryterium za 1 punkt, a następnie popełni błędy, które nie są rachunkowe, przekształci równanie do postaci $\sin(2x) \cdot f(x) = 0$ i rozwiąże równanie $\sin(2x) = 0$⁠, to otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie.
• 2. Jeżeli zdający popełni tylko błędy rachunkowe i przekształci równanie do postaci $\sin(2x) \cdot f(x) = 0$⁠, gdzie funkcja trygonometryczna $f$ nie ma miejsc zerowych lub równanie trygonometryczne $f(x) = 0$ ma jedną serię rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych, oraz rozwiąże równanie $\sin(2x) = 0$⁠, otrzymując $x = \frac{\pi k}{2}$⁠, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie, o ile nie nabył praw do innej punktacji.
• 3. Jeżeli zdający przyjmie $u = 2x$ i rozwiąże równanie $\sin(3u) - 2\sin u = 0$ (lub równanie $-4\sin^3 u + 3\sin u - 2\sin u = 0$⁠) i na tym zakończy lub dalej popełni błędy, to otrzymuje 3 punkty.