Zadanie 17 · 2 pkt · otwarte

Różnica ciągu arytmetycznego z wyrazu i sumy

Ciąg arytmetyczny (an)(a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n≥1n \ge 1⁠. Trzeci wyraz tego ciągu jest równy (−1)(-1)⁠, a suma piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa (−165)(-165)⁠.

Oblicz różnicę tego ciągu. Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź i rozwiązanieSpróbuj najpierw sam(a), potem sprawdź.

Rozwiązanie krok po kroku

  1. Zapisujemy dane za pomocą a1a_1 i rr⁠, korzystając ze wzorów na nn-ty wyraz i na sumę nn początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.

    {a1+2r=−12a1+14r2⋅15=−165\begin{cases} a_1 + 2r = -1 \\ \dfrac{2a_1 + 14r}{2} \cdot 15 = -165 \end{cases}

    Do tego miejsca: 1 pkt

  2. Drugie równanie upraszczamy, dzieląc obie strony przez 1515 i skracając ułamek.

    2a1+14r2=−11  ⇒  a1+7r=−11\dfrac{2a_1 + 14r}{2} = -11 \;\Rightarrow\; a_1 + 7r = -11

  3. Odejmujemy stronami pierwsze równanie od drugiego, więc a1a_1 się redukuje.

    (a1+7r)−(a1+2r)=−11−(−1)  ⇒  5r=−10  ⇒  r=−2(a_1 + 7r) - (a_1 + 2r) = -11 - (-1) \;\Rightarrow\; 5r = -10 \;\Rightarrow\; r = -2

    Do tego miejsca: 2 pkt

Odpowiedź

Różnica ciągu jest równa (−2)(-2)⁠.

Jak to jest punktowane

Za rozwiązanie jest jeden poziom — najwyższy, który spełnia.

  • 2 pktzastosowanie poprawnej metody i obliczenie różnicy ciągu: r=−2r = -2⁠.
  • 1 pktzapisanie układu równań pozwalającego obliczyć rr⁠, np.:−1=a1+2r-1 = a_1 + 2r oraz −165=2a1+14r2⋅15-165 = \frac{2a_1 + 14r}{2} \cdot 15⁠,−1=a1+2r-1 = a_1 + 2r oraz a15=a1+14ra_{15} = a_1 + 14r oraz −165=a1+a152⋅15-165 = \frac{a_1 + a_{15}}{2} \cdot 15⁠,a3=−1a_3 = -1 oraz −165=(a3−2r)+(a3+12r)2⋅15-165 = \frac{(a_3 - 2r) + (a_3 + 12r)}{2} \cdot 15ALBO– zapisanie równania z jedną niewiadomą rr⁠, np.:(−1−2r)+(−1−r)+(−1)+(−1+r)+…+(−1+12r)=−165(-1 - 2r) + (-1 - r) + (-1) + (-1 + r) + \ldots + (-1 + 12r) = -165⁠,2(−1−2r)+14r2⋅15=−165\frac{2(-1 - 2r) + 14r}{2} \cdot 15 = -165⁠,(−1−2r)+(−1+12r)2⋅15=−165\frac{(-1 - 2r) + (-1 + 12r)}{2} \cdot 15 = -165⁠,ALBO– obliczenie ósmego wyrazu ciągu (an)(a_n) z wykorzystaniem własności ciągu arytmetycznego: a8=−11a_8 = -11 (dla sposobów IV oraz V),ALBO– zapisanie kolejnych piętnastu początkowych wyrazów ciągu (an)(a_n)⁠:33⁠, 11⁠, −1-1⁠, −3-3⁠, −5-5⁠, −7-7⁠, −9-9⁠, −11-11⁠, −13-13⁠, −15-15⁠, −17-17⁠, −19-19⁠, −21-21⁠, −23-23⁠, −25-25⁠.

Uznawane są też inne sposoby rozwiązania

  • Zapisanie równania z jedną niewiadomą rr⁠, np. (−1−2r)+(−1+12r)2⋅15=−165\frac{(-1 - 2r) + (-1 + 12r)}{2} \cdot 15 = -165⁠.
  • Obliczenie ósmego wyrazu z własności ciągu arytmetycznego: a8=S1515=−11a_8 = \frac{S_{15}}{15} = -11⁠.

Uwagi z zasad oceniania CKE

  • 1. Jeżeli zdający myli ciąg arytmetyczny z geometrycznym, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.
  • 2. Jeżeli zdający zapisze tylko r=−2r = -2⁠, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.
  • 3. Jeżeli zdający błędnie interpretuje liczbę (−165)(-165) jako piętnasty wyraz ciągu, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

Chcesz rozwiązywać to zadanie z podpowiedziami? Zapisz się na listę oczekujących

Źródło: CKE, matura maj 2024, poziom podstawowy, zadanie 17