Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 liczba n² + (n + 1)² + (n + 2)² przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2.

n² + (n + 1)² + (n + 2)² = 3(n² + 2n + 1) + 2, więc reszta z dzielenia przez 3 jest równa 2.

Zadanie 3 · 2 pkt · dowód

Reszta z dzielenia sumy trzech kwadratów przez 3

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$ liczba $n^2 + (n + 1)^2 + (n + 2)^2$ przy dzieleniu przez $3$ daje resztę $2$ ⁠.

Pokaż odpowiedź i rozwiązanieSpróbuj najpierw sam(a), potem sprawdź.

Rozwijamy kwadraty sum ze wzoru skróconego mnożenia.
$n^2 + (n + 1)^2 + (n + 2)^2 = n^2 + n^2 + 2n + 1 + n^2 + 4n + 4$
Do tego miejsca: 1 pkt
Redukujemy wyrazy podobne i wyłączamy $3$ przed nawias, tak aby została reszta $2$ ⁠.
$n^2 + n^2 + 2n + 1 + n^2 + 4n + 4 = 3n^2 + 6n + 5 = 3\left(n^2 + 2n + 1\right) + 2$
Do tego miejsca: 2 pkt
Liczba $k = n^2 + 2n + 1$ jest naturalna, więc dana liczba jest wielokrotnością $3$ powiększoną o $2$ i przy dzieleniu przez $3$ daje resztę $2$ ⁠, co należało wykazać.
$3\left(n^2 + 2n + 1\right) + 2 = 3k + 2, \quad k \in \mathbb{N}$

Odpowiedź

$n^2 + (n + 1)^2 + (n + 2)^2 = 3\left(n^2 + 2n + 1\right) + 2$ ⁠, więc reszta z dzielenia przez $3$ jest równa $2$ ⁠.

Za rozwiązanie jest jeden poziom — najwyższy, który spełnia.

2 pktprzekształcenie wyrażenia $n^2 + (n + 1)^2 + (n + 2)^2$ do postaci $3(n^2 + 2n + 1) + 2$ ALBO– przekształcenie wyrażenia $n^2 + (n + 1)^2 + (n + 2)^2$ do postaci $3n^2 + 6n + 5$ oraz zapisanie, że składniki $3n^2$ oraz $6n$ są podzielne przez $3$ ⁠, a reszta z dzielenia liczby $5$ przez $3$ jest równa $2$ ⁠,ALBO– zapisanie, że $n$ ⁠, $n + 1$ ⁠, $n + 2$ ⁠, to trzy kolejne liczby całkowite, więc dokładnie jedna z nich jest podzielna przez $3$ ⁠, a dwie pozostałe nie są podzielne przez $3$ oraz zapisanie, że kwadrat liczby podzielnej przez $3$ jest podzielny przez $3$ ⁠, a kwadrat liczby niepodzielnej przez $3$ przy dzieleniu przez $3$ daje resztę $1$ ⁠, oraz zapisanie wniosku, że reszta z dzielenia przez $3$ liczby $n^2 + (n + 1)^2 + (n + 2)^2$ jest równa $2$ ⁠.
1 pktprzekształcenie wyrażenia $n^2 + (n + 1)^2 + (n + 2)^2$ do postaci $n^2 + n^2 + 2n + 1 + n^2 + 4n + 4$ ALBO– zapisanie, że $n$ ⁠, $n + 1$ ⁠, $n + 2$ ⁠, to trzy kolejne liczby naturalne, więc dokładnie jedna z nich jest podzielna przez $3$ ⁠, a dwie pozostałe nie są podzielne przez $3$ oraz zapisanie, że kwadrat liczby podzielnej przez $3$ jest podzielny przez $3$ ⁠, a kwadrat liczby niepodzielnej przez $3$ przy dzieleniu przez $3$ daje resztę $1$ ⁠.

Liczby $n$ ⁠, $n + 1$ ⁠, $n + 2$ to trzy kolejne liczby naturalne, więc dokładnie jedna z nich jest podzielna przez $3$ ⁠. Kwadrat liczby podzielnej przez $3$ jest podzielny przez $3$ ⁠, a kwadrat liczby niepodzielnej przez $3$ daje resztę $1$ ⁠; suma reszt to $0 + 1 + 1 = 2$ ⁠.

1. Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość tezy tylko dla wybranych wartości $n$ ⁠, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
2. Jeżeli zdający przyjmuje np. $n = 3k + r$ ⁠, gdzie $k \in \mathbb{N}$ i $r$ jest resztą z dzielenia liczby $n$ przez $3$ (lub $n = 2k + r$ ⁠, gdzie $k \in \mathbb{N}$ i $r$ jest resztą z dzielenia liczby $n$ przez $2$ ⁠), i przeprowadzi pełne rozumowanie dla wszystkich przypadków, to otrzymuje 2 punkty.Gdy przeprowadzi pełne rozumowanie dla co najmniej połowy przypadków, ale nie przeprowadzi pełnego rozumowania dla wszystkich przypadków, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.
3. Jeżeli zdający rozpatruje tylko jeden przypadek $n = 3k + 2$ ⁠, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

Źródło: CKE, matura maj 2024, poziom podstawowy, zadanie 3