Równanie wielomianowe trzeciego stopnia

Jak to jest punktowane

Za rozwiązanie jest jeden poziom — najwyższy, który spełnia.

• 3 pktpoprawna metoda rozwiązania równania i obliczenie wszystkich rozwiązań równania: $(-\sqrt{3})$⁠, $\sqrt{3}$⁠, $2$⁠.
• 2 pktprzekształcenie lewej strony równania do postaci iloczynu wielomianów stopnia co najwyżej drugiego oraz rozwiązanie jednego z równań wynikającego z tego rozkładu, np.:$(x - 2)(x^2 - 3) = 0$ i $x = 2$⁠,$(x - 2)(x^2 - 3) = 0$ i $x = -\sqrt{3}$ oraz $x = \sqrt{3}$ALBO– przekształcenie równania $x^3 - 2x^2 - 3x + 6 = 0$ do postaci alternatywy dwóch równań: kwadratowego i liniowego oraz rozwiązanie jednego z nich:$(x - 2 = 0,\ x^2 - 3 = 0)$ oraz $x = 2$⁠,$(x - 2 = 0,\ x^2 - 3 = 0)$ oraz $(x = -\sqrt{3},\ x = \sqrt{3})$⁠,ALBO– rozłożenie wielomianu $W(x) = x^3 - 2x^2 - 3x + 6$ na czynniki liniowe: $W(x) = (x - 2)(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})$⁠,ALBO– przekształcenie równania $x^3 - 2x^2 - 3x + 6 = 0$ do postaci alternatywy trzech równań liniowych: $(x - 2 = 0,\ x - \sqrt{3} = 0,\ x + \sqrt{3} = 0)$⁠,ALBO– obliczenie jednego z pierwiastków wielomianu $W(x) = x^3 - 2x^2 - 3x + 6$ oraz poprawne podzielenie wielomianu $W$ przez odpowiedni dwumian, np. $x = 2$ i $(x^3 - 2x^2 - 3x + 6) : (x - 2) = x^2 - 3$⁠.
• 1 pktzapisanie wielomianu $W(x) = x^3 - 2x^2 - 3x + 6$ w postaci iloczynu wielomianów stopnia co najwyżej drugiego, np. $W(x) = (x - 2)(x^2 - 3)$ALBO– przekształcenie równania $x^3 - 2x^2 - 3x + 6 = 0$ do postaci alternatywy dwóch równań: $(x - 2 = 0,\ x^2 - 3 = 0)$⁠,ALBO– przekształcenie równania $x^3 - 2x^2 - 3x + 6 = 0$ do postaci $x^2(x - 2) - 3(x - 2) = 0$ lub do postaci $x^2(x - 2) = 3(x - 2)$ oraz zapisanie rozwiązania $x = 2$⁠,ALBO– zapisanie jednego z rozwiązań równania $x^3 - 2x^2 - 3x + 6 = 0$ oraz zapisanie sprawdzenia, że ta liczba spełnia to równanie.

Uznawane są też inne sposoby rozwiązania

• Inne pogrupowanie wyrazów: $x(x^2 - 3) - 2(x^2 - 3) = 0$⁠, czyli $(x - 2)(x^2 - 3) = 0$⁠, a dalej jak wyżej.
• Odgadnięcie pierwiastka $x = 2$ (sprawdzenie $W(2) = 0$⁠) i podzielenie wielomianu przez $(x - 2)$⁠, co daje $x^2 - 3$⁠.

Uwagi z zasad oceniania CKE

• 1. Jeżeli zdający zapisze tylko trzy poprawne rozwiązania równania, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.
• 2. Jeżeli zdający uzyska trzy poprawne pierwiastki wielomianu, lecz traktuje równanie jako nierówność (podaje zbiór rozwiązań w postaci przedziału / sumy przedziałów), to otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie.
• 3. Jeżeli przy przekształcaniu lewej strony równania do postaci iloczynu zdający zapisuje czynnik $(x - 2)$ z wykładnikiem $2$⁠, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za rozwiązanie równania $(x - 2)^2 = 0$ i 1 punkt za rozwiązanie równania $x^2 - 3 = 0$⁠).
• 4. Jeżeli zdający zamiast równania $(x - 2)(x^2 - 3) = 0$ zapisze $(x - 2) \pm (x^2 - 3) = 0$⁠, ale z dalszego rozwiązania wynika, że traktuje lewą stronę równania jak iloczyn i rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za rozwiązanie równania $x - 2 = 0$ i 1 punkt za rozwiązanie równania $x^2 - 3 = 0$⁠).
• 5. Jeżeli zdający przy przekształcaniu równania do postaci $(x - 2)(x^2 - 3) = 0$ popełni błąd i zapisze:$x^2(x + 2) - 3(x - 2) = 0$lub$x^2(x - 2) + 3(x - 2) = 0$lub$x^2(x - 2) - 3(x + 2) = 0$lub$x(x^2 + 3) - 2(x^2 - 3) = 0$lub$x(x^2 - 3) + 2(x^2 - 3) = 0$lub$x(x^2 - 3) - 2(x^2 + 3) = 0$a następnie:
• 5.1. zapisze równanie $(x - 2)(x^2 - 3) = 0$ lub poprawną alternatywę ($x - 2 = 0$ lub $x^2 - 3 = 0$⁠) i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za rozwiązanie równania $x - 2 = 0$ i 1 punkt za rozwiązanie równania $x^2 - 3 = 0$⁠).
• 5.2. zapisze równanie $(x - 2)(x^2 + 3) = 0$ lub błędną alternatywę ($x - 2 = 0$ lub $x^2 + 3 = 0$⁠) i zapisze rozwiązanie $x = 2$⁠, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.
• 5.3. zapisze równanie $(x + 2)(x^2 - 3) = 0$ lub błędną alternatywę ($x + 2 = 0$ lub $x^2 - 3 = 0$⁠) i zapisze oba rozwiązania równania $x^2 - 3 = 0$⁠: $x = -\sqrt{3}$ oraz $x = \sqrt{3}$⁠, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.
• 5.4. zapisze błędne równanie (w którym jedna ze stron jest równa $0$⁠, a druga jest iloczynem wielomianów stopni dodatnich), inne niż w uwagach 5.2 oraz 5.3, np. $(x - 2)(x + 2)(x^2 \pm 3) = 0$ lub błędną alternatywę inną niż w uwagach 5.2 oraz 5.3, np. ($x - 2 = 0$ lub $x + 2 = 0$ lub $x^2 \pm 3 = 0$⁠), to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
• 6. Jeżeli zdający, przekształcając równanie $x^3 - 2x^2 - 3x + 6 = 0$⁠, popełni jeden błąd (który nie jest błędem znaku) albo dwa błędy znaku i otrzyma równanie trzeciego stopnia, które ma trzy rozwiązania rzeczywiste, oraz konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.
• 7. Jeżeli zdający dzieli obustronnie równanie $x^2(x - 2) = 3(x - 2)$ przez dwumian $(x - 2)$ z podaniem odpowiedniego założenia i uzyska tylko dwa poprawne rozwiązania $x = \sqrt{3}$ oraz $x = -\sqrt{3}$⁠, to otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie, a jeżeli uzyska tylko jedno z tych rozwiązań, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.
• 8. Jeżeli zdający dzieli obustronnie równanie $x^2(x - 2) = 3(x - 2)$ przez dwumian $(x - 2)$ bez podania odpowiedniego założenia i uzyska tylko dwa poprawne rozwiązania $x = \sqrt{3}$ oraz $x = -\sqrt{3}$⁠, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie, a jeżeli uzyska tylko jedno z tych rozwiązań, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.