Rozwiąż nierówność 3(2x² + 1) < 11x Zapisz obliczenia.

Zadanie 10 · 2 pkt · otwarte

Nierówność kwadratowa

Rozwiąż nierówność $3(2x^2 + 1) < 11x$ Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź i rozwiązanieSpróbuj najpierw sam(a), potem sprawdź.

Wymnażamy nawias i przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę.
$3\left(2x^2 + 1\right) < 11x \;\Rightarrow\; 6x^2 + 3 < 11x \;\Rightarrow\; 6x^2 - 11x + 3 < 0$
Obliczamy wyróżnik i pierwiastki trójmianu.
$\Delta = (-11)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 3 = 49, \qquad x_1 = \frac{11 - 7}{12} = \frac{1}{3}, \qquad x_2 = \frac{11 + 7}{12} = \frac{3}{2}$
Do tego miejsca: 1 pkt
Ramiona paraboli są skierowane w górę, więc trójmian jest ujemny między pierwiastkami, a końce nie należą do zbioru, bo nierówność jest ostra.
$x \in \left(\tfrac{1}{3},\, \tfrac{3}{2}\right)$
Do tego miejsca: 2 pkt

Odpowiedź

$x \in \left(\frac{1}{3}, \frac{3}{2}\right)$

Za rozwiązanie jest jeden poziom — najwyższy, który spełnia.

2 pktzastosowanie poprawnej metody i zapisanie zbioru rozwiązań nierówności: $x \in \left(\frac{1}{3}, \frac{3}{2}\right)$ ALBO– zastosowanie poprawnej metody i przedstawienie zbioru rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziału.
1 pktobliczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego $6x^2 - 11x + 3$ ⁠: $x_1 = \frac{1}{3}$ oraz $x_2 = \frac{3}{2}$ ⁠.

1. Jeżeli zdający, obliczając pierwiastki trójmianu $6x^2 - 11x + 3$ ⁠, popełni błędy (ale otrzyma dwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionych błędów zapisze zbiór rozwiązań nierówności, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.
2. Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego, w przypadku gdy błędnie obliczony przez zdającego wyróżnik $\Delta$ jest ujemny, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
3. Jeżeli zdający rozpatruje inny niż podany w zadaniu trójmian kwadratowy, który nie wynika z błędu przekształcenia (np. $3(2x^2 + 1)$ ⁠), i w konsekwencji rozpatruje inną nierówność (np. $3(2x^2 + 1) < 0$ ⁠), to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
4. Jeżeli zdający poda zbiór rozwiązań w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziału i jednocześnie zapisze niewłaściwy przedział jako zbiór rozwiązań (np. $x \in \left[\frac{1}{3}, \frac{3}{2}\right]$ ⁠), to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.

Źródło: CKE, matura maj 2025, poziom podstawowy, zadanie 10