Objętość stożka z kąta rozwarcia

Jak to jest punktowane

Za rozwiązanie jest jeden poziom — najwyższy, który spełnia.

• 3 pktzastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: $V = 64\pi$⁠.
• 2 pktzapisanie promienia podstawy stożka: $r = 4\sqrt{3}$ oraz zapisanie wysokości stożka: $H = 4$ALBO– obliczenie kwadratu promienia podstawy stożka: $r^2 = 48$ oraz zapisanie wysokości stożka: $H = 4$⁠,ALBO– zapisanie wysokości stożka: $H = 4$ oraz wyznaczenie objętości stożka w zależności od $H$⁠, np. $V = \frac{1}{3}\pi\left(H\sqrt{3}\right)^2 \cdot H$⁠,ALBO– zapisanie promienia podstawy stożka: $r = 4\sqrt{3}$ oraz wyznaczenie objętości stożka w zależności od $r$⁠, np. $V = \frac{1}{3}\pi r^2 \cdot \frac{r}{\sqrt{3}}$⁠,ALBO– wyznaczenie objętości stożka w zależności od tworzącej $l$⁠, np. $V = \frac{1}{3}\pi\left(\frac{l\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot \frac{l}{2}$⁠.
• 1 pktzapisanie promienia podstawy stożka: $r = 4\sqrt{3}$ALBO– zapisanie wysokości stożka: $H = 4$⁠,ALBO– obliczenie kwadratu promienia podstawy stożka: $r^2 = 48$⁠,ALBO– zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć $r$ oraz $H$⁠, np.:$r = x\sqrt{3}$ oraz $H = x$ oraz $l = 2x$ oraz $l = 8$⁠,$\frac{r}{8} = \sin 60^\circ$ oraz $\frac{H}{8} = \cos 60^\circ$⁠,$\frac{1}{2} \cdot 2r \cdot H = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 \cdot \sin 120^\circ$ oraz $r^2 + H^2 = 8^2$⁠,$(2r)^2 = 8^2 + 8^2 - 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot \cos 120^\circ$ oraz $r^2 + H^2 = 8^2$⁠,ALBO– wyznaczenie objętości stożka w zależności od $H$⁠, np. $V = \frac{1}{3}\pi\left(H\sqrt{3}\right)^2 \cdot H$⁠,ALBO– wyznaczenie objętości stożka w zależności od $r$⁠, np. $V = \frac{1}{3}\pi r^2 \cdot \frac{r}{\sqrt{3}}$⁠.

Uznawane są też inne sposoby rozwiązania

• Twierdzenie cosinusów w trójkącie przekroju osiowego: $(2r)^2 = 8^2 + 8^2 - 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot \cos 120^\circ$⁠, czyli $r^2 = 48$⁠, a wysokość z twierdzenia Pitagorasa: $H^2 = 64 - 48 = 16$⁠.
• Pole przekroju osiowego: $\frac{1}{2} \cdot 2r \cdot H = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 \cdot \sin 120^\circ$⁠, czyli $rH = 16\sqrt{3}$⁠, i $r^2 = 48$ z twierdzenia cosinusów.

Uwagi z zasad oceniania CKE

• 1. Jeżeli zdający przyjmuje w rozwiązaniu, że:a) trójkąt $SOB$ jest trójkątem równobocznym,b) wysokość stożka jest równa $8$⁠, lubc) promień podstawy stożka jest równy $8$⁠,to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
• 2. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest:a) zastosowanie niepoprawnej definicji jednej funkcji trygonometrycznej,b) błędne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa,c) błędne zastosowanie twierdzenia cosinusów,d) zastosowanie niepoprawnej tożsamości $\sqrt{x^2 + y^2} = x + y$⁠,e) błędne zastosowanie własności trójkąta o kątach $30^\circ$⁠, $60^\circ$⁠, $90^\circ$ (tzn. zapisanie, że promień podstawy stożka jest równy $4$ i wysokość stożka jest równa $4\sqrt{3}$⁠), lubf) przyjęcie, że kąt $120^\circ$ to kąt wycinka koła o promieniu $8$ tworzącego powierzchnię boczną stożka,i rozwiązanie zostanie doprowadzone konsekwentnie do końca, to zdający może otrzymać 1 punkt za całe rozwiązanie (za konsekwentne obliczenie objętości stożka).Jeżeli zdający popełni więcej niż jeden z wymienionych błędów a)–f), to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów (np. za zapisanie wysokości stożka: $H = 4$⁠).