Zadanie 12.3 · 1 pkt · krótka odpowiedź

Suma miejsc zerowych przesuniętej funkcji

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y)(x, y) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej ff (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne (3,6)(3, 6)⁠. Ta parabola przecina oś OyOy w punkcie o współrzędnych (0,3)(0, 3)⁠.

Funkcja gg jest określona dla każdej liczby rzeczywistej xx wzorem g(x)=f(x)−3g(x) = f(x) - 3⁠. Liczby x1x_1 oraz x2x_2 są różnymi miejscami zerowymi funkcji gg⁠.

Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe.

Suma x1+x2x_1 + x_2 jest równa ……\ldots\ldots .

Pokaż odpowiedź i rozwiązanieSpróbuj najpierw sam(a), potem sprawdź.

Poprawna odpowiedź

66

Rozwiązanie krok po kroku

  1. Przesunięcie wykresu w pionie nie zmienia osi symetrii, więc wykres gg⁠, tak jak wykres ff⁠, ma oś symetrii x=3x = 3⁠.

    g(x)=f(x)−3,xw=3g(x) = f(x) - 3, \qquad x_w = 3

  2. Miejsca zerowe funkcji gg leżą symetrycznie względem tej osi, więc ich średnia arytmetyczna jest równa pierwszej współrzędnej wierzchołka.

    x1+x22=3  ⇒  x1+x2=6\frac{x_1 + x_2}{2} = 3 \;\Rightarrow\; x_1 + x_2 = 6

  3. Sprawdzamy wynik na wzorze f(x)=−13(x−3)2+6f(x) = -\frac{1}{3}(x - 3)^2 + 6 wyznaczonym z danych zadania.

    g(x)=−13(x−3)2+3=0  ⇒  (x−3)2=9  ⇒  x=0  ∨  x=6g(x) = -\frac{1}{3}(x - 3)^2 + 3 = 0 \;\Rightarrow\; (x - 3)^2 = 9 \;\Rightarrow\; x = 0 \;\lor\; x = 6

Odpowiedź

x1+x2=6x_1 + x_2 = 6

Jak to jest punktowane

  • 1 pktodpowiedź poprawna.

Chcesz rozwiązywać to zadanie z podpowiedziami? Zapisz się na listę oczekujących

Źródło: CKE, matura maj 2025, poziom podstawowy, zadanie 12.3