Podzielność przez 4 dla liczb nieparzystych

Jak to jest punktowane

Za rozwiązanie jest jeden poziom — najwyższy, który spełnia.

• 2 pktzapisanie, że $n = 2l + 1$⁠, oraz przekształcenie wyrażenia $3n^2 + 2n + 7$ do postaci $4(3l^2 + 4l + 3)$ALBO– przekształcenie wyrażenia $3n^2 + 2n + 7$ do postaci sumy algebraicznej liczb podzielnych przez $4$ oraz uzasadnienie, że każdy ze składników tej sumy jest podzielny przez $4$⁠,ALBO– rozpatrzenie przypadku, gdy $n = 4l + 1$⁠, tj. przekształcenie wyrażenia $3n^2 + 2n + 7$ do postaci $4(12l^2 + 8l + 3)$⁠, oraz rozpatrzenie przypadku, gdy $n = 4l + 3$⁠, tj. przekształcenie wyrażenia $3n^2 + 2n + 7$ do postaci $4(12l^2 + 20l + 10)$⁠,ALBO– zapisanie, że liczba $3n^2$ przy dzieleniu przez $4$ daje resztę $3$ oraz zapisanie, że liczba $2n$ przy dzieleniu przez $4$ daje resztę $2$ oraz zapisanie, że suma reszt z dzielenia przez $4$ liczb: $3n^2$⁠, $2n$⁠, $7$⁠, jest podzielna przez $4$⁠.
• 1 pktzapisanie, że $n = 2l + 1$⁠, oraz przekształcenie wyrażenia $3n^2 + 2n + 7$ do postaci $3(4l^2 + 4l + 1) + 2(2l + 1) + 7$ALBO– przekształcenie wyrażenia $3n^2 + 2n + 7$ do postaci sumy algebraicznej liczb podzielnych przez $4$⁠, w której podzielność przez $4$ jednego ze składników nie wymaga uzasadnienia: $4(n^2 + n + 2) - (n + 1)^2$⁠, $(3n - 1)(n + 1) + 8$⁠, $4(n^2 + n + 1) - (n + 3)(n - 1)$⁠,ALBO– przekształcenie wyrażenia $3n^2 + 2n + 7$ do postaci sumy algebraicznej liczb podzielnych przez $4$⁠: $2n(n + 1) + (n^2 + 7)$⁠, $(n + 1)^2 + 2(n^2 + 3)$⁠, oraz uzasadnienie podzielności przez $4$ jednego ze składników tej sumy,ALBO– rozpatrzenie przypadku, gdy $n = 4l + 1$⁠, tj. przekształcenie wyrażenia $3n^2 + 2n + 7$ do postaci $4(12l^2 + 8l + 3)$⁠,ALBO– rozpatrzenie przypadku, gdy $n = 4l + 3$⁠, tj. przekształcenie wyrażenia $3n^2 + 2n + 7$ do postaci $4(12l^2 + 20l + 10)$⁠,ALBO– zapisanie, że liczba $3n^2$ przy dzieleniu przez $4$ daje resztę $3$ oraz zapisanie, że liczba $2n$ przy dzieleniu przez $4$ daje resztę $2$⁠.

Uznawane są też inne sposoby rozwiązania

• Zapisanie liczby jako różnicy liczb podzielnych przez $4$⁠, czyli $3n^2 + 2n + 7 = 4\left(n^2 + n + 2\right) - (n + 1)^2$⁠, gdzie $n + 1$ jest parzysta, więc $(n + 1)^2$ jest podzielna przez $4$⁠.
• Rozpatrzenie przypadków $n = 4l + 1$ i $n = 4l + 3$⁠, w których $3n^2 + 2n + 7$ jest równe odpowiednio $4\left(12l^2 + 8l + 3\right)$ i $4\left(12l^2 + 20l + 10\right)$⁠.
• Reszty z dzielenia przez $4$⁠, gdy $n$ jest nieparzysta: $n^2$ daje resztę $1$⁠, więc $3n^2$ daje resztę $3$⁠, $2n$ — resztę $2$⁠, a $7$ — resztę $3$⁠; suma reszt $3 + 2 + 3 = 8$ jest podzielna przez $4$⁠.

Uwagi z zasad oceniania CKE

• 1. Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość tezy tylko dla wybranych wartości $n$⁠, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
• 2. Jeżeli zdający wykazuje, że dla każdej liczby naturalnej nieparzystej $n$ wyrażenie $3n^2 - 2n + 7$ (zamiast $3n^2 + 2n + 7$⁠) jest podzielne przez $4$⁠, to otrzymuje 1 punkt.
• 3. Jeżeli zdający przedstawia $n$ w postaci $2l + 1$⁠, a następnie przekształca wyrażenie $3n^2 + 2n + 7$ np. do postaci $4(3l^2 + 4l + 3)$ i kontynuuje rozumowanie, popełniając błędy we wnioskowaniu, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.
• 4. Jeżeli zdający przedstawia $n$ w postaci $2l + 1$⁠, a następnie błędnie przekształca wyrażenie $3(2l + 1)^2 + 2(2l + 1) + 7$⁠, ale uzyskuje całkowitą wielokrotność liczby $4$ postaci $4 \cdot (a \cdot l^2 + b \cdot l + c)$⁠, gdzie $a, b, c \in \mathbb{Z}$ i $a \ne 0$⁠, to może otrzymać 1 punkt za całe rozwiązanie.