Zadanie 12.1 · 2 pkt · otwarte

Wzór funkcji kwadratowej z wierzchołka

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y)(x, y) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej ff (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne (3,6)(3, 6)⁠. Ta parabola przecina oś OyOy w punkcie o współrzędnych (0,3)(0, 3)⁠.

Wyznacz wzór funkcji ff w postaci kanonicznej. Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź i rozwiązanieSpróbuj najpierw sam(a), potem sprawdź.

Rozwiązanie krok po kroku

  1. Wierzchołek (3,6)(3, 6) wyznacza postać kanoniczną z niewiadomym współczynnikiem aa⁠.

    f(x)=a(x−3)2+6,a≠0f(x) = a(x - 3)^2 + 6, \quad a \ne 0

    Do tego miejsca: 1 pkt

  2. Punkt (0,3)(0, 3) leży na wykresie, więc podstawiamy jego współrzędne i obliczamy aa⁠.

    a(0−3)2+6=3  ⇒  9a=−3  ⇒  a=−13a(0 - 3)^2 + 6 = 3 \;\Rightarrow\; 9a = -3 \;\Rightarrow\; a = -\frac{1}{3}

  3. Wstawiamy obliczony współczynnik do postaci kanonicznej.

    f(x)=−13(x−3)2+6f(x) = -\frac{1}{3}(x - 3)^2 + 6

    Do tego miejsca: 2 pkt

Odpowiedź

f(x)=−13(x−3)2+6f(x) = -\frac{1}{3}(x - 3)^2 + 6

Jak to jest punktowane

Za rozwiązanie jest jeden poziom — najwyższy, który spełnia.

  • 2 pktpoprawna metoda i zapisanie wzoru funkcji ff w postaci kanonicznej:f(x)=−13(x−3)2+6f(x) = -\frac{1}{3}(x - 3)^2 + 6⁠.
  • 1 pktzapisanie wzoru funkcji ff w postaci f(x)=a(x−3)2+6f(x) = a(x - 3)^2 + 6ALBO– zapisanie równania z jedną niewiadomą prowadzącego do obliczenia aa⁠, np.:3=a(0−3)2+63 = a(0 - 3)^2 + 6⁠, 3a−12a=3\frac{3a - 1}{2a} = 3⁠,ALBO– obliczenie (lub podanie wraz z uzasadnieniem) współczynnika aa⁠: a=−13a = -\frac{1}{3}⁠.

Uznawane są też inne sposoby rozwiązania

  • Postać ogólna f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c wyznaczona z punktów (0,3)(0, 3)⁠, (3,6)(3, 6) i (6,3)(6, 3) daje f(x)=−13x2+2x+3f(x) = -\frac{1}{3}x^2 + 2x + 3⁠, a potem przekształcenie do postaci kanonicznej.

Uwagi z zasad oceniania CKE

  • 1. Jeżeli zdający zapisze f(x)=−13(x−3)2+6f(x) = -\frac{1}{3}(x - 3)^2 + 6 i nie obliczy (ani nie uzasadni), że a=−13a = -\frac{1}{3}⁠, to otrzymuje 1 punkt.
  • 2. Jeżeli zdający zapisze wzór funkcji ff w postaci f(x)=a(x−3)2+6f(x) = a(x - 3)^2 + 6 oraz poprawnie obliczy współczynnik aa⁠, to otrzymuje 2 punkty.

Chcesz rozwiązywać to zadanie z podpowiedziami? Zapisz się na listę oczekujących

Źródło: CKE, matura maj 2025, poziom podstawowy, zadanie 12.1