Zadanie 15 · 3 pkt · otwarte

Ciąg arytmetyczny malejący z parametrem

Wyznacz wartość mm⁠, dla której trzywyrazowy ciąg(2m+11,  m2+3,  5−m)(2m + 11,\; m^2 + 3,\; 5 - m)jest arytmetyczny i malejący. Zapisz obliczenia.

Pokaż odpowiedź i rozwiązanieSpróbuj najpierw sam(a), potem sprawdź.

Rozwiązanie krok po kroku

  1. Zapisujemy warunek ciągu arytmetycznego dla trzech kolejnych wyrazów.

    2(m2+3)=(2m+11)+(5−m)  ⇒  2m2+6=m+162\left(m^2 + 3\right) = (2m + 11) + (5 - m) \;\Rightarrow\; 2m^2 + 6 = m + 16

    Do tego miejsca: 1 pkt

  2. Porządkujemy równanie i rozwiązujemy je za pomocą wyróżnika.

    2m2−m−10=0,Δ=1+80=81,m=1±94,m=−2  ∨  m=522m^2 - m - 10 = 0, \qquad \Delta = 1 + 80 = 81, \qquad m = \frac{1 \pm 9}{4}, \qquad m = -2 \;\lor\; m = \frac{5}{2}

    Do tego miejsca: 2 pkt

  3. Obliczamy wyrazy ciągu dla obu wartości: dla m=−2m = -2 ciąg jest stały, więc nie jest malejący, a dla m=52m = \frac{5}{2} jest malejący, zatem jedyną szukaną wartością jest m=52m = \frac{5}{2}⁠.

    m=−2  ⇒  (7,7,7),m=52  ⇒  (16,374,52),r=−274<0m = -2 \;\Rightarrow\; (7, 7, 7), \qquad m = \tfrac{5}{2} \;\Rightarrow\; \left(16, \tfrac{37}{4}, \tfrac{5}{2}\right), \quad r = -\tfrac{27}{4} < 0

    Do tego miejsca: 3 pkt

Odpowiedź

m=52m = \frac{5}{2}

Jak to jest punktowane

Za rozwiązanie jest jeden poziom — najwyższy, który spełnia.

  • 3 pktobliczenie i uzasadnienie, że jedyną wartością mm⁠, dla której ciąg (2m+11, m2+3, 5−m)(2m + 11,\ m^2 + 3,\ 5 - m) jest arytmetyczny i malejący jest 52\frac{5}{2}⁠.
  • 2 pktwyznaczenie wartości mm⁠, dla których ciąg (2m+11, m2+3, 5−m)(2m + 11,\ m^2 + 3,\ 5 - m) jest arytmetyczny: m=−2m = -2 oraz m=52m = \frac{5}{2}ALBO– zapisanie równania z jedną niewiadomą mm⁠, np.:2m+11+5−m2=m2+3\frac{2m + 11 + 5 - m}{2} = m^2 + 3⁠,(m2+3)−(2m+11)=(5−m)−(m2+3)(m^2 + 3) - (2m + 11) = (5 - m) - (m^2 + 3)⁠,oraz rozwiązanie co najmniej jednej z trzech nierówności:• 2m+11>m2+32m + 11 > m^2 + 3 : m∈(−2,4)m \in (-2, 4)• m2+3>5−mm^2 + 3 > 5 - m : m∈(−∞,−2)∪(1,+∞)m \in (-\infty, -2) \cup (1, +\infty)• 2m+11>5−m2m + 11 > 5 - m : m∈(−2,+∞)m \in (-2, +\infty)⁠,ALBO– obliczenie wszystkich wartości rr⁠, dla których ciąg (2m+11, m2+3, 5−m)(2m + 11,\ m^2 + 3,\ 5 - m) jest arytmetyczny: r=−274r = -\frac{27}{4} lub r=0r = 0⁠,ALBO– obliczenie wartości rr⁠, dla której ciąg (2m+11, m2+3, 5−m)(2m + 11,\ m^2 + 3,\ 5 - m) jest arytmetyczny i malejący: r=−274r = -\frac{27}{4}⁠.
  • 1 pktzapisanie równania z jedną niewiadomą mm⁠, np.:2m+11+5−m2=m2+3\frac{2m + 11 + 5 - m}{2} = m^2 + 3⁠,(m2+3)−(2m+11)=(5−m)−(m2+3)(m^2 + 3) - (2m + 11) = (5 - m) - (m^2 + 3)ALBO– zapisanie układu równań z dwiema niewiadomymi pozwalającego obliczyć mm i rr⁠, np.m2+3=2m+11+rm^2 + 3 = 2m + 11 + r oraz 5−m=2m+11+2r5 - m = 2m + 11 + 2r⁠,ALBO– rozwiązanie co najmniej jednej z trzech nierówności:• 2m+11>m2+32m + 11 > m^2 + 3 : m∈(−2,4)m \in (-2, 4)• m2+3>5−mm^2 + 3 > 5 - m : m∈(−∞,−2)∪(1,+∞)m \in (-\infty, -2) \cup (1, +\infty)• 2m+11>5−m2m + 11 > 5 - m : m∈(−2,+∞)m \in (-2, +\infty)⁠.

Uznawane są też inne sposoby rozwiązania

  • Najpierw warunek monotoniczności: ciąg jest malejący dla m∈(1,4)m \in (1, 4)⁠; potem równanie 2m2−m−10=02m^2 - m - 10 = 0 i wybór m=52∈(1,4)m = \frac{5}{2} \in (1, 4)⁠, bo m=−2∉(1,4)m = -2 \notin (1, 4)⁠.
  • Układ równań z różnicą ciągu rr⁠: m2+3=2m+11+rm^2 + 3 = 2m + 11 + r oraz 5−m=2m+11+2r5 - m = 2m + 11 + 2r⁠; dla ciągu malejącego r=−274r = -\frac{27}{4} i m=52m = \frac{5}{2}⁠.

Uwagi z zasad oceniania CKE

  • 1. Jeżeli zdający myli ciąg arytmetyczny z geometrycznym, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów (np. za rozwiązanie nierówności 2m+11>m2+32m + 11 > m^2 + 3⁠).
  • 2. Jeżeli zdający nie uwzględnia istotnych nawiasów i rozwiązuje równanie postaci (m2+3)−2m+11=(5−m)−m2+3(m^2 + 3) - 2m + 11 = (5 - m) - m^2 + 3⁠, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów (np. za rozwiązanie nierówności 2m+11>m2+32m + 11 > m^2 + 3⁠).
  • 3. Jeżeli zdający zapisze tylko m=52m = \frac{5}{2}⁠, to otrzymuje 0 punktów. Natomiast jeżeli zdający dodatkowo sprawdzi, zapisując odpowiednie obliczenia, że dla tej wartości mm spełnione są warunki zadania, ale nie uzasadni, że jest to jedyne rozwiązanie, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.
  • 4. Jeżeli zdający wyznaczy wartości mm⁠, dla których ciąg (2m+11, m2+3, 5−m)(2m + 11,\ m^2 + 3,\ 5 - m) jest arytmetyczny: m=−2m = -2 oraz m=52m = \frac{5}{2}⁠, i zapisze, że dla m=−2m = -2 ciąg nie jest malejący, to otrzymuje 3 punkty.
  • 5. Jeżeli zdający wyznaczy wartości mm⁠, dla których ciąg (2m+11, m2+3, 5−m)(2m + 11,\ m^2 + 3,\ 5 - m) jest arytmetyczny: m=−2m = -2 oraz m=52m = \frac{5}{2}⁠, a następnie obliczy dla każdej z tych wartości mm wyrazy ciągu i nie wskaże, że m=52m = \frac{5}{2} jest jedyną szukaną wartością, to otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie.

Chcesz rozwiązywać to zadanie z podpowiedziami? Zapisz się na listę oczekujących

Źródło: CKE, matura maj 2025, poziom podstawowy, zadanie 15