Zadanie 11 · 4 pkt · otwarte

Własności funkcji określonej przedziałami

Funkcja ff jest określona następująco:

f(x)={x+5dla x∈[−4,−2]3dla x∈(−2,2]−3x+9dla x∈(2,4)f(x) = \begin{cases} x + 5 & \text{dla } x \in [-4, -2] \\ 3 & \text{dla } x \in (-2, 2] \\ -3x + 9 & \text{dla } x \in (2, 4) \end{cases}

Wykres funkcji y=f(x)y = f(x) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y)(x, y) na rysunku poniżej.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

1. Dziedziną funkcji ff jest przedział ……\ldots\ldots .2. Zbiorem wartości funkcji ff jest przedział ……\ldots\ldots .3. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja ff przyjmuje wartości dodatnie, jest przedział ……\ldots\ldots .4. Zbiorem wszystkich rozwiązań równania f(x)=3f(x) = 3 jest przedział ……\ldots\ldots .

Pokaż odpowiedź i rozwiązanieSpróbuj najpierw sam(a), potem sprawdź.

Rozwiązanie krok po kroku

  1. Dziedzina to suma przedziałów, na których określono kolejne wzory.

    [−4,−2]∪(−2,2]∪(2,4)=[−4,4)[-4, -2] \cup (-2, 2] \cup (2, 4) = [-4, 4)

    +1 pkt1. Dziedziną funkcji ff jest przedział [−4,4)[-4, 4)⁠.

  2. Pierwszy wzór daje wartości z przedziału [1,3][1, 3]⁠, drugi wartość 33⁠, a trzeci wartości z przedziału (−3,3)(-3, 3)⁠, więc zbiór wartości jest sumą tych zbiorów.

    [1,3]∪{3}∪(−3,3)=(−3,3][1, 3] \cup \{3\} \cup (-3, 3) = (-3, 3]

    +1 pkt2. Zbiorem wartości funkcji ff jest przedział (−3,3](-3, 3]⁠.

  3. Dwa pierwsze wzory dają tylko wartości dodatnie, a trzeci tylko dla x<3x < 3⁠, bo −3x+9>0  ⟺  x<3-3x + 9 > 0 \iff x < 3⁠.

    [−4,−2]∪(−2,2]∪(2,3)=[−4,3)[-4, -2] \cup (-2, 2] \cup (2, 3) = [-4, 3)

    +1 pkt3. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja ff przyjmuje wartości dodatnie, jest przedział [−4,3)[-4, 3)⁠.

  4. Pierwszy wzór daje wartość 33 tylko dla x=−2x = -2⁠, drugi na całym przedziale (−2,2](-2, 2]⁠, a trzeci nie daje jej wcale, bo −3x+9=3-3x + 9 = 3 tylko dla x=2x = 2⁠, które nie należy do przedziału (2,4)(2, 4)⁠.

    {−2}∪(−2,2]=[−2,2]\{-2\} \cup (-2, 2] = [-2, 2]

    +1 pkt4. Zbiorem wszystkich rozwiązań równania f(x)=3f(x) = 3 jest przedział [−2,2][-2, 2]⁠.

Odpowiedź

[−4,4)[-4, 4)⁠; (−3,3](-3, 3]⁠; [−4,3)[-4, 3)⁠; [−2,2][-2, 2]⁠.

Jak to jest punktowane

  • 1 pkt1. Dziedziną funkcji ff jest przedział [−4,4)[-4, 4)⁠.
  • 1 pkt2. Zbiorem wartości funkcji ff jest przedział (−3,3](-3, 3]⁠.
  • 1 pkt3. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja ff przyjmuje wartości dodatnie, jest przedział [−4,3)[-4, 3)⁠.
  • 1 pkt4. Zbiorem wszystkich rozwiązań równania f(x)=3f(x) = 3 jest przedział [−2,2][-2, 2]⁠.

Łącznie 4 pkt

Zasady oceniania CKE

  • 4 pktpoprawne uzupełnienie czterech zdań.
  • 3 pktpoprawne uzupełnienie trzech zdań.
  • 2 pktpoprawne uzupełnienie dwóch zdań.
  • 1 pktpoprawne uzupełnienie jednego zdania.

Chcesz rozwiązywać to zadanie z podpowiedziami? Zapisz się na listę oczekujących

Źródło: CKE, matura maj 2025, poziom podstawowy, zadanie 11